Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Различные виды уравнений прямой на плоскости.

а. уравнение с угловым коэффициентом -

Число = tg называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение - уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Если прямая проходит через начало координат, то и, следовательно, уравнение прямой будет иметь вид .

Если прямая параллельна оси , то , следовательно, = tg =0 и уравнение имеет вид .

Если прямая параллельна оси , то и уравнение теряет смысл, так как для нее угловой коэффициент = tg =tg не существует. В этом случае уравнение прямой будет иметь вид , где абсцисса точки пересечения прямой с осью .

Доказательство: Пусть на плоскости задана произвольная прямая, не параллельная оси . Ее положение вполне определяется ординатой точки пересечения с осью и углом между осью и прямой.

Под углом наклона прямой понимается наименьший угол, на который нужно повернуть вокруг точки пересечения прямой и оси против часовой стрелки ось до ее совпадения с прямой.

Возьмем на прямой произвольную точку . Проведем через точку ось , параллельную оси и одинаково с ней направленную. Угол между осью и прямой равен . В системе точка имеет координаты и . Из определения тангенса угла следует равенство tg , т. е. . Введем обозначение , получаем уравнение , которому удовлетворяют координаты любой точки прямой.

общее уравнение –

Возможны два случая.

Если , то уравнение имеет вид , причем , т. е. . Это есть уравнение прямой, параллельной оси и проходящей через точку .

Если , то плу4чаем уравнение . Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом = tg = .

Есть частные случаи общего уравнение прямой:

1) Если , то уравнение приводится к виду . Это есть уравнение прямой, параллельной оси ;

2) Если , то прямая параллельна оси ;

3) Если , то получаем . Уравнению удовлетворяют координаты точки , прямая проходит через начало координат.

б. уравнение прямой, проходящей через две заданные точки – (при , ).

Пусть прямая проходит через точки М₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точку М₁, имеет вид y-y₁=k(x-x₁), где k- пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку M₂(x₂;y₂), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению y₂-y₁=k(x₂-x₁). Отсюда находим . Подставляя найденное значение в уравнение y-y₁=k(x-x₁), получим уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и M₂: .

в. параметрическое уравнение –

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую a, указав лежащую на ней точку M₁ (x₁;y₁) и направляющий вектор этой прямой .

Возьмем произвольную точку плоскости M (x;y). Мы можем вычислить координаты вектора . Очевидно, что множество всех точек M (x;y) задают прямую, проходящую через точку M₁ (x₁;y₁) и имеющую направляющий вектор , тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и записывается в виде уравнения , где - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид . Уравнения полученной системы называются параметрическими уравнениями прямой на плоскости.

каноническое уравнение –

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Нужно получить уравнение прямой a, если M₁ (x₁;y₁) - некоторая точка прямой a и - направляющий вектор прямой a.

Пусть M (x;y)- плавающая точка прямой a. Тогда вектор является направляющим вектором прямой a и имеет координаты . Очевидно, что множество всех точек M (x;y)на плоскости определяют прямую, проходящую через точку M₁ (x₁;y₁) и имеющую направляющий вектор тогда и только тогда, когда векторы и - коллинеарны.

Равенство в координатной форме имеет вид .

Если и , то мы можем записать .

Полученное уравнение вида называют каноническим уравнением прямой на плоскости. Это уравнение также называют уравнением прямой в каноническом виде.

г*. уравнение прямой в отрезках –

Пусть прямая пересекает ось в точке М₁( ), а ось - в точке М₂ (). В этом случае уравнение имеет вид , т. е. . Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа и указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.

полярное уравнение – .

Положение прямой можно определить, указав расстояние от полюса О до данной прямой и угол между полярной осью ОР и осью , проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.

Для любой точки М () на данной прямой имеем:

пр _l = .

С другой стороны,

пр _l =| | .

Следовательно,

Полученное уравнение и есть уравнение прямой в полярных координатах или полярное уравнение прямой.

нормальное уравнение прямой -

Пусть прямая определяется заданием и . Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ox за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде , т. е. .

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: , . Следовательно уравнение прямой в прямоугольной системе координат имеет вид .

Это уравнение называется нормальным уравнением прямой.