Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратных матриц.

Пусть дана система из n линейных уравнений с n неизвестными x₁, x₂,…,x_n:

Рассмотрим квадратную матрицу

Обозначим D = det A (определитель матрицы А).

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной (или особенной), если D = 0.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через А^-1.

Квадратная матрица А^-1 называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение А* А^-1 = А^-1*А = Е, где Е ─ единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и А^-1.

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

,

где А_ij ─ алгебраические дополнения элементов a_ij.

А_ij к элементу находим по формуле: A_ij = (-1)^1+jМ .

Минор элемента a_ij – это определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца.

Если систему уравнений представить в матрич­ном виде: А ∙ X = В,

где А^-1 - обратная матрица к квадратной матрице ,

тогда решение системы уравнений находим по формуле: Х = А^-1 ∙ В.