Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Билет 7

Умножение комплексных чисел:

Найдем произведение комплексных чисел z₁ = r₁ (cos ϕ₁ + i sin ϕ₁ ) и z₂ = r₂ (cos ϕ₂ + i sin ϕ₂), заданных в тригонометрической форме:

z₁z₂ = r₁ (cos ϕ₁ + i sin ϕ₁ ) r₂ (cos ϕ₂ + i sin ϕ₂)= r₁r₂ (cos ϕ₁cos ϕ₂ + i sin ϕ₁cos ϕ₂ + i cos ϕ₁ i sin ϕ₂ - sin ϕ₁ sin ϕ₂) = r₁r₂ ((cos ϕ₁cos ϕ₂ - sin ϕ₁ sin ϕ₂) + i (sin ϕ₁cos ϕ₂ + cos ϕ₁ sin ϕ₂ )) = r₁r₂ (cos (ϕ₁ + ϕ₂ ) + i sin (ϕ₁ + ϕ₂ )),

т.е. z₁z₂ = r₁r₂ (cos (ϕ₁ + ϕ₂ ) + i sin (ϕ₁ + ϕ₂ )).

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности, если есть n множителей и все они одинаковы, то

Zⁿ = (r (cos ϕ + i sin ϕ))ⁿ = rⁿ (cos n ϕ + i sin n ϕ). – формула Муавра.

Пример: Найти (1 + )⁹.

Решение: Запишем сначала число z = 1 + в тригонометрической форме:

r = = 2; arg z = arctg => arg z = , z = 2(cos + i sin ).

По формуле Муавра имеем:

Z⁹ = (1 + )⁹ = 2⁹ (cos 9 + i sin 9 ) = 2⁹(cos 3 + i sin 3 ) = 2⁹ (-1) = -512

Деление комплексных чисел:

Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел z₁ и z₂ 0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z₂, дает число z₁ , т.е.

= z

Для тригонометрической формы комплексного числа формула деления имеет вид:

= (cos (ϕ1 - ϕ2) + i sin (ϕ1 - ϕ2)).