Читайте также:
|
1) Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например x, через коэффициенты и другое неизвестное y:
x = (c – by) / a. (2)
2) Подставляем во второе уравнение вместо x:
d (c – by) / a + ey = f.
3) Решая последнее уравнение, находим y:
y = (af – cd) / (ae – bd).
4) Подставляем это значение вместо y в выражение (2):
x = (ce – bf) / (ae – bd).
П р и м е р. Решить систему уравнений:
Из первого уравнения выразим х через коэффициенты и y:
x = (2 y + 4) / 3.
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим y:
(2 y + 4) / 3 + 3 y = 5,откуда y = 1.
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо y в
выражение для х: x = (2 · 1 + 4) / 3, откуда x = 2.
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.
1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их:
Отсюда получаем: y = (af – cd) / (ae – bd).
2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1):
ax + b(af – cd) / (ae – bd) = c.
3) Находим другое неизвестное: x = (ce – bf) / (ae – bd).
П р и м е р. Решить систему уравнений:
методом сложения или вычитания.
Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение
(а в первое можно?): 3 x + 9 = 15, отсюда x = 2.
Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
x = (ce – bf) / (ae – bd),
(3)
y = (af – cd) / (ae – bd).
Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:
, который будет обозначать выражение: ps – qr.
Это выражение получается перекрёстным умножением чисел p, q, r, s:
и последующим вычитанием одного произведения из другого: ps – qr. Знак «+» берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак «–» - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,
Выражение 
называется определителем второго порядка.
Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):
Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р. Решить систему уравнений
используя правило Крамера.
Р е ш е н и е. Здесь a = 1, b = 1, c = 12, d = 2, e = – 3, f = 14.
Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:
1) коэффициенты при неизвестных не пропорциональны: a: d ≠ b: e,
в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);
2) все коэффициенты уравнений пропорциональны: a: d = b: e = c: f,
в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.
П р и м е р. В системе уравнений
и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений.
Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два
одинаковых уравнения:
т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого
бесконечное множество решений.
3) коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f,
в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.
П р и м е р. В системе уравнений
но отношение свободных членов 7 / 12 не равно 1 / 3.
Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.
Разделив второе уравнение на 3, мы получим:
Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то
же выражение 2 x – 3 y не может быть одновременноравно и 7, и 4.
Билет 58:
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 105 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |