Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Математические модели и численные методы решения задач. Модели, приводящие к необходимости численного дифференцирования и интегрирования функций.

Математические модели представляют собой упрощенное описание исследуемого явления с помощью математических символов и операций над ними. Математические модели разрабатываются с соблюдением корректности и адекватности по отношению к реальным процессам, но, как правило, с учетом простоты их технической реализации.

При математическом моделировании важным моментом является первоначальная математическая постановка задачи. Она предполагает описание математической модели и указания цели ее исследования. Для одной и той же математической модели могут быть сформулированы и решены различные математические задачи.

Математическая модель называется аналитической, если ее уравнения и соотношения получены путем теоретических выкладок. Если же они получены в результате обработки опытных данных, то такая модель называется эмпирической.

Математические модели по числу аргументов (факторов), от которых зависит значение функции, делятся на однофакторные (y=f(x₁)) и многофакторные (y=f(x₁,x₂,…,x_n)).

Однофакторные модели делятся на: линейные (модель – уравнение прямой линии) и нелинейные (уравнения модели – других видов: гиперболические, экспоненциальные, показательные, полиномиальные и др.).

Модели по числу параметров, значения которых необходимо определить, делятся на:- однопараметрические (y=ax, y=ae^x, y=x^b и т.д.);- двухпараметрические (y=a+bx, e=ae^bx, y=ax^b и т.п.);

- многопараметрические (y=a+bx+cx² и т.д.)

Основным инструментом реализации математических моделей являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к вычислению конечного числа арифметических действий над числами и получение этого решения в виде числовых значений. Решение, получаемое численными методами, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Численные методы:-прямые;-косвенные.

Из прямых методов решения СЛАУ рассмотрим методы Гаусса и прогонки.

В методе Гаусса матрица СЛАУ с помощью равносильных преобразований преобразуется в верхнюю треугольную матрицу, получающуюся в результате прямого хода. В обратном ходе определяются неизвестные.

Метод прогонки является одним из эффективных методов решения СЛАУ с трех - диагональными матрицами, возникающих при конечно-разностной аппроксимации задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных второго порядка и является частным случаем метода Гаусса.

Методы последовательных приближений, в которых при вычислении последующего приближения решения используются предыдущие, уже известные приближенные решения, называются итерационными.

Итерационные методы решения СЛАУ:

- Метод простой итерации

- Метод Ричардсона

- Метод Якоби

- Метод Зейделя

Метод простых итераций довольно медленно сходится. Для его ускорения существует метод Зейделя, заключающийся в том, что при вычислении компонента хк+¹ вектора неизвестных на (к+1)-й итерации используютсях₁^к+¹,х₂^к+¹,...,х^¹, уже вычисленные на (к+1)-й итерации. Значения остальных компонент х^к+„х^к+₂,...,х^ берутся из предыдущей итерации.

- Метод релаксации Релаксация – (физ.тех.) постепенное ослабление какого-либо состояния тела после прекращения действия факторов вызвавших это состояние.