Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 8.1. Геометрия на плоскости.

Каждый треугольник имеет три высоты. Высоту, проведенную из вершины на сторону , принято обозначать . Высоты треугольников или их продолжение пересекается в одной точке. В остроугольном треугольнике точка пересечения высот находится внутри треугольника; в прямоугольном - в вершине прямого угла (совпадает с точкой ); в тупоугольном треугольнике - за пределами треугольника. Точка пересечения высот или их продолжений называется ортоцентром.

Задание. В треугольнике сторона мм, . Найти высоту, опущенную на сторону .

Решение. Обозначим искомую высоту .

Для нахождения высоты воспользуемся формулой

которая в наших обозначениях запишется следующим образом:

Подставим в последнее равенство исходные данные, получим

(мм)

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Как построить медиану треугольника?

Чтобы построить медиану треугольника, надо:

1) С помощью линейки найти и отметить середину стороны треугольника.

2) Соединить полученную точку с вершиной, лежащей напротив этой стороны.

Рисунок медианы треугольника:

Как построить медиану треугольника с помощью циркуля и линейки без шкалы, мы рассмотрим позже, в теме «Построить треугольник».

Сколько медиан имеет треугольник?

Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три. Значит, треугольник имеет три медианы.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке:

Точка пересечения медиан называется центром тяжести треугольника.

Биссектрисой треугольника называется отрезок, который соединяет вершину с противоположной стороной и делит соответствующий угол пополам.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы.

На рисунке 1 в треугольнике : - биссектриса угла , - биссектриса угла , - биссектриса угла . Биссектрисы пересекаются в одной точке (на рисунке 1 точка ), которая лежит в середине треугольника и называется инцентром.

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные к прилегающим сторонам:

Задание. В треугольнике : - биссектриса, сторона см, см, отрезок см. Найти длину отрезка .

Решение. По свойству биссектрисы

Подставляя в это равенство исходные данные, получим

(см)

Ответ. см

Задачи на самостоятельное решение.

1. В прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу в отношении 3: 2, а высота делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 20 больше другого. Найти площадь треугольника.

2. Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти значение выражения (6 + 2√5)1/2 · sin α, где α – меньший угол треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике катеты равны 24√2 и 7√2. Найти расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 6√3. Найти его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой угол в отношении 1: 2.

5. Стороны треугольника равны √5; 2; 3. Найти квадрат расстояния от вершины меньшего угла треугольника до точки пересечения его биссектрис.

6. В прямоугольном треугольнике длины медиан, проведенных из вершин острых углов, равны √34 и √11. Найти длину гипотенузы.