Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Евклидово пространство и его простейшие свойства

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Содержание

Евклидово пространство. Примеры конкретных евклидовых пространств. Неравенство Коши – Буняковского. Норма. Неравенство треугольника. Ортонормированный базис и его свойства. Процесс ортогонализации. Ортогональное дополнение. Изоморфизм евклидовых пространств. Примеры и задачи.

В общем линейном пространстве, в котором можно складывать элементы (векторы) и умножать их на числа, были введены понятия размерности и базиса. Однако производить в нём какие-либо измерения мы ещё не можем. Желая наиболее естественным образом распространить на общие линейные пространства методы, связанные с возможностью измерений, введём в них метрику, то есть способ измерять длины элементов (векторов) и углы между ними. Это легче будет сделать, если сначала ввести в общем линейном пространстве понятие скалярного произведения двух элементов, а затем из этого понятия получить определения длины элемента и угла между элементами.

Евклидово пространство и его простейшие свойства

1.1. Определение евклидова пространства. Вещественное линейное пространство называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

I. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам и из ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом .

II. Указанное правило подчинено следующим четырём аксиомам:

1º. для любых элементов справедливо равенство .

2º. для любых элементов справедливо равенство

.

3º. для любых элементов и любого вещественного числа справедливо равенство

.

4º. для любого ненулевого элемента справедливо неравенство , а для нулевого элемента – равенство .

Замечание 1. На базе комплексного линейного пространства строится комплексное евклидово пространство, при переходе к которому невозможно сохранить без изменения приведённые выше аксиомы 1°, 3° и 4° (см. [3], гл. 4, § 3). Здесь нами будут рассматриваться только вещественные пространства.