Читайте также:
|
В разделе «Аналитическая геометрия» были рассмотрены двухмерные и трехмерные векторы, которые геометрически изображались направленными отрезками. Было показано, что вектор полностью определен, если известны его координаты, а действия над векторами сводятся к соответствующим действиям над их координатами. Таким образом, двухмерные векторы можно определить как набор из двух чисел, взятых в определенном порядке
a = {xa, ya}, а трехмерный вектор a = {xa, ya, za}, как упорядоченный набор из трех чисел.
Исходя из этих определений введем n -ментые векторы.
Определение. n -мерным вектором называется совокупность из n чисел, записанных в определенном порядке в виде строки x = (x1, x2, …, xn) или столбца x1
x = x2
…
xn
Числа x1, x2, …, xn называются координатами вектора. Число координат n называется размерностью вектора. Из определения n -мерного вектора следует, что два n -мерных вектора x = (x1, x2, …, xn) и y = (y1, y2, …, yn) равны тогда и только тогда, когда равны все их одноименные координаты, т. е. x = y ó x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.
Операции сложения векторов и умножения вектора на число определим так же как для двухмерных и трехмерных векторов.
I. Суммой двух n -мерных векторов x = (x1, x2, …, xn) и
y = (y1, y2, …, yn) называется вектор
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …, xn + yn), каждая координата которого равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.
II. Произведением вектора x на число λ называется вектор
λx = (λx1, λx2, …, λxn),
каждая координата которого равна произведению соответствующей координаты вектора x на число λ.
Введем: 1) нулевой вектор θ = (0, 0, …, 0), все координаты которого равны
нулю. Очевидно, что x + θ = x.
2) для каждого вектора x противоположный вектор
–x = (–x1, –x2, …, –xn) такой, что x + (–x) = θ.
Требуется, чтобы операции I и II обладали следующими свойствами.
1o. Переместительное (коммутативное) свойство суммы
x + y = y + x
2o. Сочестательное (ассоциативное) свойство суммы
(x + y) + z = x + (y + z)
3o. Сочетательное (ассоциативное) относительно числового множителя свойство λ(μx) = (λμ)x
4o. Распределительное (дистрибутивное) относительно суммы числовых множителей свойство (λ + μ)x = λx + μx
5o. Распределительное (дистрибутивное) относительно суммы векторов свойство λ(x + y) = λx + λy
Множество n -мерных векторов x = (x1, x2, …, xn), в котором определены операции I и II со свойствами 1о – 5о, называется n-мерным векторным или линейным пространством и обозначается Rn.
Линейными пространствами являются множества векторов в трехмерном пространстве, на плоскости и на прямой, которые обозначаются соответственно R3, R2 и R1.
Пример
Решить векторное уравнение
3a – 2x + 2b = 3x – c, где
a = (1, 3, 4); b = (1, 2, 1); c = (1, 1, 5).
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 154 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |