Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Системы счисления

Система счисления – принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел
в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Рассмотрим некоторые позиционные системы счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

В позиционной системе счисления число может быть представлено
в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления:

A_nA_n-1A_n-2…A₁A₀A_-1A_-2…=A_n∙ Bⁿ +A_n-1∙B^n-1+…+ A₁∙B¹+A₀∙B⁰+ A_-1∙B^-1+A_-2∙B^-2+…

Таким образом, значе­ние каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными.

Приме­ры:

23,43₁₀ = 2∙ 10¹+ 3∙ 10⁰ + 4∙ 10^-1 + 3∙ 10^-2;

692₁₀=6∙10²+9∙10¹+2;

1101₂= 1∙2³+ 1∙2² + 0∙2¹ + 1∙2⁰;

112₃= 1∙3² + 1∙3¹+ 2∙3⁰;

341,5₈ = 3∙8² + 4∙8¹+ 1∙8⁰+ 5∙8^-1;

A1F,4₁₆ = A∙16²+ 1∙16¹ + F∙16⁰ + 4∙16^-1.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную и шестнадцатеричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления
в другую. Заметим, что во всех приведенных, выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже проде­монстрирован.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы
в систему с основа­нием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В – остаток даст следующий разряд числа и т. д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть
от дробной) знаком. Дробную же часть произ­ведения необходимо
вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т. д.

Отметим, что кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления суще­ствуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

1(1) V(5) X(10) L(50) С (100) D(500) М(1000)

Примеры: III (три), LIX (пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять).

Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь ис­торический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).