Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

С точки зрения изучения принципов представления и обработки информации в компьютере, обсуждаемые в этом пункте системы представляют большой интерес.

Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто
с целью уменьшения количества записываемых на бумаге или вводимых
с клавиатуры компьютера знаков бывает удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадца­теричными числами, тем более что, как будет показано далее, процедура взаимного перевода чисел из каждой из этих систем в двоичную очень проста - гораздо проще переводов между любой из этих трех систем и десятичной.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в восьмеричную производится (по аналогии с двоичной системой счисления) с помощью делений и умножений на 8. Например, переведем число 58,32₍₁₀₎:

58: 8 = 7 (2 в остатке),

7: 8 = 0 (7 в остатке).

0,32 ∙ 8 = 2,56 (целая часть 2),

0,56 ∙ 8 = 4,48 (целая часть 4),

0,48 ∙ 8 = 3,84 (целая часть 3),...

Таким образом, 58,32₁₀ = 72,243... ₈ (из конечной дроби в одной системе может получиться бесконечная дробь в другой).

Перевод чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную произво­дится аналогично.

С практической точки зрения представляет интерес процедура взаимного преоб­разования двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел. Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное необходимо разбить его справа налево на группы по 3 цифры (самая левая группа может содержать менее трех двоичных цифр), а затем каждой группе поставить в соответствие ее восьме­ричный эквивалент.

Например:

11011001 = 11 011 001, т.е. 11011001₂ = 331₈

Заметим, что группу из трех двоичных цифр часто называют «двоичной триадой». Перевод целого двоичного числа в шестнадцатеричное производится путем раз­биения данного числа на группы по 4 цифры – «двоичные тетрады»:

1100011011001 = 1 1000 1101 1001, т.е. 1100011011001₂= 18D9₁₆.

Для перевода дробных частей двоичных чисел в восьмеричную или шестнадца­теричную системы аналогичное разбиение на триады или тетрады производится от точки вправо (с дополнением недостающих последних цифр нулями):

0,1100011101₂ = 0,110 001 110 100 = 0,6164₈,

0,1100011101₂ = 0,1100 0111 0100 =0,С74₁₆.

Перевод восьмеричных (шестнадцатеричных) чисел в двоичные производится обратным путем – сопоставлением каждому знаку числа соответствующей тройки (четверки) двоичных цифр.

Преобразования чисел из двоичной в восьмеричную
и шестнадцатеричную сис­темы и наоборот столь просты (по сравнению
с операциями между этими тремя системами и привычной нам десятичной) потому, что числа 8 и 16 являются целыми степенями числа 2. Этой простотой и объясняется популярность восьмеричной и шестнадцатеричной систем в вычислительной технике и программировании.

Арифметические действия с числами в восьмеричной
и шестнадцатеричной сис­темах счисления выполняются по аналогии
с двоичной и десятичной системами.

Рассмотрим еще один возможный способ перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую – метод вычитания степеней.
В этом случае из числа последовательно вычитается максимально допустимая степень требуемого основа­ния, умноженная на максимально возможный коэффициент, меньший основания; этот коэффициент
и является значащей цифрой числа в новой системе.

Например, число 114₁₀

114 – 2 ⁶ – 2 ⁵ – 2 ⁴ – 2 ¹ = 0.

Таким образом, 114₁₀ = 1110010₂.

114 – 1∙8² = 114 – 64 = 50,

50 – 6∙8¹ = 50 – 48 = 2,

2 – 2∙8⁰ = 2 – 2 = 0.

Итак, 114₁₀= 162₈.