Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Построение доверительного интервала для параметра закона Пуассона

Рассмотрим построение доверительного интервала для параметра λ распределения Пуассона. В экспериментальной ядерной физике очень часто приходится довольствоваться одним наблюдением пуассоновской случайной величины – числом зарегистрированных за некоторое время отсчетов k_e. Нужно найти два числа k₂> k_e и k₂< k_e в качестве границ доверительного интервала так, чтобы приняв в качестве оценки параметра λ величину k₂ вероятность получить значение меньше k_e не превышала , где - доверительная вероятность, а приняв в качестве λвеличину k₁, вероятность получить значение больше k_e тоже не превышала (рис. 1):

Рис. 1. Построение доверительного интервала

Тем самым будет установлено, что

Граничные числа k₁ и k₂ находятся как решения приведенных уравнений. Эти числа могут быть выражены через процентные точки распределения :

Очевидно, что границы доверительного интервала не симметричны относительно , что следует из асимметрии распределения Пуассона.

Имеются таблицы для нахождения границ доверительных интервалов для различных значений оценки параметра распределения Пуассона λ. Ниже приведены значения доверительных границ для доверительной вероятности 1-α = 0,95.

На первый взгляд вызывает удивление существование верхней границы при . Однако следует отдавать себе отчет в том, что отсутствие отсчетов за промежуток времени регистрации еще не гарантирует их отсутствие при большем времени наблюдения. Разумеется, верхнее значение доверительного интервала растет с увеличением .

Доверительные границы для интенсивности потока равны:

,

где Т – время регистрации отсчетов.

При λ>15 распределение Пуассона достаточно хорошо аппроксимируется нормальным распределением. Например, зарегистрировано =20 событий. Точные оценки через распределение доверительного интервала =0,95 =12,22 и =30,89, а оценки через квантили нормального распределения -1,96 и 1,96 дают =11,2 и =28,8. Поэтому в экспериментальной работе для предварительной оценки погрешности числа отсчетов за одно измерение часто используют значения ; и соответственно для доверительных вероятностей 0,68; 0,95 и 0,998, если, конечно, есть уверенность в отсутствии помех.