Читайте также:
|
Теорема 4.2. Пусть функции 
и 
имеют в точке 
пределы и эти пределы соответственно равны 
и 
. Тогда функции 
, 
имеют в точке пределы, равные соответственно 
Если кроме этого, 
, то в точке существует предел функции 
равный 
.
Доказательство. Пусть 
- произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента, элементы которой отличны от . Тогда последовательности 
и 
сходятся соответственно к пределам и . Но тогда, в силу теоремы 3.7, последовательности
и 
(при ) имеют пределы, соответственно равные 
и . Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что 
, 
, 
. Теорема 4.2 доказана.
Теорема 4.3. Пусть функции 
и 
определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и имеют в этой точке равные пределы. Пусть кроме этого выполняются неравенства 
. Тогда существует 
при этом 
.
Доказательство. Пусть 
- произвольная, сходящаяся к последовательность, элементы которой отличны от . Тогда соответствующие последовательности и 
имеют предел, и эти пределы равны. Из условия теоремы следует, что 
. Тогда согласно теореме 3.9 
Следовательно, существует и 
и при этом . Теорема 4.3 доказана.
ВВЕДЕНИЕ
Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа e можно указать такое положительной число d, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству | x-a |<d, имеет место неравенство |f(x)-b|<d.
Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:
Определение непрерывной функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если
Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:
ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть
ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть
ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть
и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.
ТЕОРЕМА 4. Первый замечательный предел равен
ТЕОРЕМА 5. Второй замечательный предел равен
ТЕОРЕМА 6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
перейти к содержанию
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА
Пример 1. Докажем, что
Пусть задано произвольное e>0. Тогда для того чтобы выполнялось неравенство
| f(x)-a |<e, необходимо выполнение неравенства | x - a |<e, которое, очевидно, выполняется, если | x - a |<d, где d=e. Таким образом, согласно определению предела функции, число a, действительно, является пределом функции x при x стремящемся к a.
Пример 2. Докажем, что
Нужно доказать, что при произвольном e>0 найдется такое положительное d, что неравенство
будет выполняться, если |x-1|<d. Но, если x не равно 1, то (1) эквивалентно неравенству
или
При произвольном e неравенство (1) будет выполняться, если будет справедливо (2), а последнее справедливо, если |x-1|<d, где d=e. Поэтому в соответствии сопределением предела функции данная функция при x стремящемся к 1 имеет пределом число 2.
перейти к содержанию
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ПРЕДЕЛОВ
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 91 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |