Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Арифметические операции над функциями, имеющими предел.

Теорема 4.2. Пусть функции и имеют в точке пределы и эти пределы соответственно равны и . Тогда функции , имеют в точке пределы, равные соответственно Если кроме этого, , то в точке существует предел функции равный .

Доказательство. Пусть - произвольная сходящаяся к последовательность значений аргумента, элементы которой отличны от . Тогда последовательности и сходятся соответственно к пределам и . Но тогда, в силу теоремы 3.7, последовательности

и (при ) имеют пределы, соответственно равные и . Последнее утверждение, в силу определения предела функции по Гейне, означает, что , , . Теорема 4.2 доказана.

Теорема 4.3. Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и имеют в этой точке равные пределы. Пусть кроме этого выполняются неравенства . Тогда существует при этом .

Доказательство. Пусть - произвольная, сходящаяся к последовательность, элементы которой отличны от . Тогда соответствующие последовательности и имеют предел, и эти пределы равны. Из условия теоремы следует, что . Тогда согласно теореме 3.9 Следовательно, существует и и при этом . Теорема 4.3 доказана.

ВВЕДЕНИЕ

Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа e можно указать такое положительной число d, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству | x-a |<d, имеет место неравенство |f(x)-b|<d.

Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:

Определение непрерывной функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если

Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:

ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть

ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть

и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.

ТЕОРЕМА 4. Первый замечательный предел равен

ТЕОРЕМА 5. Второй замечательный предел равен

ТЕОРЕМА 6. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

перейти к содержанию

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ НА ОСНОВЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА

Пример 1. Докажем, что

Пусть задано произвольное e>0. Тогда для того чтобы выполнялось неравенство

| f(x)-a |<e, необходимо выполнение неравенства | x - a |<e, которое, очевидно, выполняется, если | x - a |<d, где d=e. Таким образом, согласно определению предела функции, число a, действительно, является пределом функции x при x стремящемся к a.

Пример 2. Докажем, что

Нужно доказать, что при произвольном e>0 найдется такое положительное d, что неравенство

будет выполняться, если |x-1|<d. Но, если x не равно 1, то (1) эквивалентно неравенству

или

При произвольном e неравенство (1) будет выполняться, если будет справедливо (2), а последнее справедливо, если |x-1|<d, где d=e. Поэтому в соответствии сопределением предела функции данная функция при x стремящемся к 1 имеет пределом число 2.

перейти к содержанию

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕСЛОЖНЫХ ПРЕДЕЛОВ