Читайте также:
|
| Определение Пр.1.3.1. |
Кривая, уравнение которой в некоторой ортонормированной системе координат имеет вид  , называется гиперболой.
|
| Определение Пр.1.3.2. |
Число  называется эксцентриситетом гиперболы.
Точки  называются фокусами гиперболы.
Прямые  называются директрисами гиперболы.
Число  называется фокальным параметром гиперболы.
|
Cвойства гиперболы:
1°. Гипербола - неограниченная кривая, существующая для 
, что следует из записи канонического уравнения в форме 
;
2°. Гипербола L обладает осевой симметрией относительно осей Ox и Oy, а также центральной симметрией относительно начала координат. Это вытекает из отношений
,
очевидных для канонического уравнения гиперболы.
Через α и β обозначим углы между касательной и фокальными радиусами (рис. Пр.1.3.1.)
| Определение Пр.1.3.2. |
Прямая  называется асимптотой для линии  при  , если
и
 .
|
3°. Гипербола обладает асимптотами вида 
.
 Свойства гиперболы иллюстрируются
рис. Пр.1.3.1.
| 
Рисунок Пр.1.3.1.
|
Действительно, 
и, кроме того,
| Теорема Пр.1.3.1. | Пусть A =  есть точка, принадлежащая гиперболе L, заданной каноническим уравнением, тогда имеют место следующие соотношения:
1°. Для правой ветви
 .
Для левой ветви
|
2°.  3°. 
4°.  5°. 
6°.  .
|
Доказательство:
1°. Доказательство аналогично доказательству теоремы Пр.1.2.1., поэтому ограничимся здесь лишь нахождением величин
 ,
используя каноническое уравнение и определение эксцентриситета.
Для  получаем
Но поскольку для гиперболы  и  , то для правой ветви ,а для левой - соответственно  .Откуда и следует 2° и 3°.
Справедливость 4° докажите самостоятельно.
5°. Наконец,  .
6°. Докажите это утверждение самостоятельно, по аналогии с доказательством свойства 6° теоремы Пр.1.2.1., используя также теорему Пр.1.3.1.
Теорема доказана.
|
Замечание о свойствах гиперболы:
Каноническое уравнение, изучаемой в курсе элементарной математики гиперболы 
, получается путем следующей замены координат
.
Из теорем Пр.1.3.1. и Пр.1.2.2. следует возможность альтернативных формулировок свойств гиперболы.
Фокальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фокусов, постоянна и равна 
.
Директориальное свойство гиперболы: гипербола есть геометрическое место точек, отношение расстояния от которых до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) постоянно и больше единицы.
Оптическое свойство гиперболы: касательная в любой точке гиперболы образует с фокальными радиусами точки касания равные углы. (Изображение точечного источника света, расположенного в одном из фокусов, есть мнимое и находится в другом фокусе гиперболы.)
Проведение касательных к гиперболе
| Теорема Пр.1.3.2. | Пусть A =  есть точка, принадлежащая гиперболе, заданной каноническим уравнением, тогда уравнение касательной к этой гиперболе, проходящей через точку А, имеет вид:
 .
|
Доказательство:
Уравнение касательной в точке A имеет вид  .
Для гиперболы из канонического уравнения получаем  , то есть  . Но тогда  , принимая во внимание, что  , окончательно получим .
Наконец, непосредственно проверяем утверждение теоремы для точек  , где уравнения касательных имеют вид  .
Теорема доказана.
|
Уравнение гиперболы в полярной системе координат
 Поместим полюс полярной системы координат в правый фокус гиперболы, а полярную ось направим по положительной полуоси Ox. (Рис. Пр.1.3.2.)
Имеем для произвольной точки A, лежащей на правой ветви гиперболы,
Откуда  и окончательно  .
| 
Рисунок Пр.1.3.2.
|
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 49 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Пр.1.2. Эллипс и его свойства | | | Пр.1.4. Парабола и ее свойства |