Читайте также:
|
Система называется автономной, если в ее правую часть не входит явно независимая переменная: 
.
Решение автономной системы можно рассматривать в пространстве координат 
, которое принято называть фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией). Вообще говоря, любую систему можно сделать автономной, вводя дополнительную фазовую координату – независимую переменную 
и дополнительное уравнение 
. Фазовое пространство такой системы принято называть расширенным фазовым пространством.
Свойства решений автономных систем.
1) Если 
- решение системы, то и 
тоже решение.
.
Следствие. Фазовая траектория - это та же фазовая траектория, что и .
В самом деле, любая точка 
первой фазовой траектории является точкой 
второй фазовой траектории и наоборот.
2) Две фазовых траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают.
Пусть две различных фазовых траектории 
имеют общую точку 
. Рассмотрим решение 
.
. Следовательно, по теореме Коши 
. Но 
- это траектория 
, сдвинутая на 
по аргументу. По следствию, обе фазовые траектории являются одной фазовой траекторией.
Следствие. Множество фазовых траекторий автономной системы в фазовом пространстве представляет собой совокупность непересекающихся кривых.
Точка 
называется точкой покоя (точкой равновесия) автономной системы, если 
.
3) Если точка - точка покоя, то 
- решение системы.
В самом деле, 
.
4) Любая фазовая траектория автономной системы есть траектория одного из трех типов:
1) гладкая, не самопересекающаяся кривая,
2) замкнутая гладкая кривая,
3) точка покоя.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 86 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |