Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения n –ого порядка с переменными коэффициентами.

Линейное однородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

.

Если коэффициенты и правая часть – непрерывные функции и , то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.

Введем линейный дифференциальный оператор

Здесь обозначает оператор дифференцирования .

Тогда линейное однородное уравнение можно записать в виде , а линейное неоднородное – в виде .

Так как линеен, то

.

Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено - решение однородного уравнения, - решение неоднородного уравнения).

Теоремы о свойствах решений.

a) сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

b) разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

c) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Докажем эти теоремы.

1)

2)

3) .

Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.

Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородного уравнения и произведение любого решения на число вновь есть решения однородного уравнения, то операции сложения и умножения на число на множестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).

Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна, (тривиальное решение) является решением однородного уравнения, для каждого решения противоположное решение тоже является решением. Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению. Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна. Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1», такое что - решение, справедлива ассоциативность по умножению на число . Это – две аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающие операции сложения и умножения на число .

Итак, налицо полный набор из восьми аксиом. Продумайте их еще раз подробнее дома.