Читайте также:
|
Любое дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно записать в виде
.
Если выполнено соотношение 
, то уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Причину такого названия понять легко. Пусть 
- функция двух переменных, дифференцируемая и имеющая непрерывные вторые частные производные по своим переменным. Тогда 
.
Если обозначить 
, то исходное уравнение можно записать в виде полного дифференциала
, а соотношение как раз и означает равенство смешанных производных 
.
Поэтому решить уравнение в полных дифференциалах – означает найти функцию (она называется потенциалом). Так как 
на решениях дифференциального уравнения, то потенциал будет первым интегралом исходного дифференциального уравнения:
Для решения уравнения в полных дифференциалах можно использовать два способа.
1) 
,
+ 
.
Здесь интегрирование ведется «частным образом»: только по переменной x, считая y константой или только по y, считая x константой.
Сравнивая оба выражения для , находим функции 
и константы.
Если какой-либо из интегралов, например, 
не берется или его вычислить сложно, то можно найти + .
Затем, дифференцируя частным образом по x, надо сравнить 
с 
и определить функции и константы.
2) Потенциал можно определять по формуле (она будет выведена из независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования позже, в 3 семестре)
. 
.
Пример. 
.
Решим уравнение первым способом.
Так как 
, то это – уравнение в полных дифференциалах.
,
.
Сравнивая оба равенства, видим, что 
, поэтому 
. Соотношение 
- это первый интеграл заданного дифференциального уравнения.
Решим уравнение вторым способом.
. Здесь принято 
.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |