Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Критерий разложимости функции в ряд Тейлора

Вернемся к рядам. В §2.7 мы установили, что если функцию можно разложить в сходящийся к ней степенной ряд, то он является для этой функции рядом Тейлора.

Возникает вопрос, справедливо ли обратное утверждение? Пусть функция бесконечно дифференцируема на интервале . Мы можем формально построить для нее ряд Тейлора. Но пока мы не знаем, будет ли наша функция суммой этого ряда, т.е. будет ли построенный ряд Тейлора сходиться к нашей функции на интервале , вместо знака равенства поставим знак соответствия:

Выясним, при каких условиях этот знак можно заменить на знак равенства. Напишем формулу Тейлора для функции :

, (2.9.1)

где - остаточный член, а

. (2.9.2)

– многочлен Тейлора n -ой степени, который можно рассматривать как частичную сумму ряда Тейлора. Таким образом,

. (2.9.3)

Остаточный член формулы Тейлора для функции можно определить как разность между функцией и частичной суммой ряда Тейлора:

. (2.9.4)

При увеличении номера п число слагаемых в частичной сумме, т.е. в многочлене Тейлора, увеличивается, а остаточный член изменяется. Можно рассмотреть последовательность остаточных членов . Это последовательность функций, определенных в той же окрестности точки а, в которой имеет место бесконечная дифференцируемость функции . Остаточный член показывает погрешность, получающуюся при замене функции частичной суммой ряда Тейлора. Ясно, что для получения хорошего приближения последовательность остаточных членов должна стремиться к нулю. Вместо сочетания «последовательность остаточных членов» часто говорят просто «остаточный член».

Теорема 1 О необходимом и достаточном условии сходимости ряда Тейлора к функции .

Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора

(2.9.5)

на интервале , необходимо и достаточно, чтобы имела на этом интервале производные любого порядка и чтобы остаточный член в данной формуле Тейлора (2.9.1) стремился к нулю при всех , когда n ®¥.

Замечание. Если функция имеет на интервале производные любого порядка, то эти производные непрерывны на этом интервале, потому что, если имеет производную на , то производная должна быть непрерывна на этом интервале.

Доказательство. Необходимость. Дано: - сумма ряда (2.9.5), т.е. ряд сходится. Требуется доказать, что . Воспользуемся равенством (2.9.3):

.

n -я частичная сумма ряда (2.9.4):

совпадает с многочленом Тейлора n -ой степени (2.9.2).

(2.9.6)

Т.к. по условию ряд сходится,

.

Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что - сумма ряда (2.9.5). .

Теорема доказана.

Лемма. (2.9.7)

для любого вещественного х.

В примере 3 на сходимость степенных рядов было установлено, что ряд сходится абсолютно при его радиус сходимости . Отсюда следует, что общий член ряда при (необходимое условие сходимости всякого ряда). Лемма доказана. Её можно применять и в виде .

Теорема 2 О достаточном условии сходимости остаточного члена формулы Тейлора к нулю.

Если функция в e-окрестности точки а имеет производные любого порядка, ограниченные одним и тем же числом то остаточный член ее формулы Тейлора в этой окрестности стремится к нулю при :

. (2.9.8)

Доказательство. Воспользовавшись формулой остаточного члена (2.7.2):

,

получим:

, (2.9.9)

т.к. в e-окрестности точки а.

Перейдем к пределу: .

По лемме при " х, в том числе при Þ . Теорема доказана.