Читайте также:
|
Находим все абсциссы 
возможных точек перегиба графика функции (
или 
и 
) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки 
будут точками перегиба графика функции.
Рассмотрим два примера нахождения точек перегиба для разъяснения.
Пример.
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графика функции 
.
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел.
Найдем первую производную:
Областью определения первой производной также является все множество действительных чисел, поэтому равенства и не выполняется ни для каких .
Найдем вторую производную:
Выясним при каких значениях аргумента x вторая производная обращается в ноль:
Таким образом, абсциссами возможных точек перегиба являются x=-2 и x=3.
Теперь осталось проверить по достаточному признаку перегиба, в каких из этих точек вторая производная меняет знак. Для этого нанесем точки x=-2 и x=3 на числовую ось и, как в обобщенном методе интервалов, расставим знаки второй производной над каждым промежутком. Под каждым интервалом схематично дугами показано направление выпуклости графика функции.
Вторая производная меняет знак с плюса на минус, проходя через точку x=-2 слева направо, и меняет знак с минуса на плюс, проходя через x=3. Следовательно, и x=-2 и x=3 являются абсциссами точек перегиба графика функции. Им соответствуют точки графика 
и 
.
Взглянув еще раз на числовую ось и знаки второй производной на ее промежутках, можно делать вывод об интервалах выпуклости и вогнутости. График функции выпуклый на интервале 
и вогнутый на интервалах 
и 
.
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 77 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |