Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Окончательным результатом градуировочного эксперимента должна быть формула, с наибольшей точностью описывающая экспериментальную зависимость Е=f(DT). В данной работе экспериментальная зависимость содержит 4 точки. Одна, полученная при D T=0°C, другая - при D T=100°C, и две точки, полученные при разности температур, равной 231,97°C при плавлении и кристаллизации олова (измеренные величины эдс термопары, соответствующие этой разности температур, в общем случае могут не совпадать в силу неизбежных случайных погрешностей).

Теория предсказывает линейную связь между разностью температур концов термопары и термоэдс, т.е. Е=a×DT (подчеркнем, что эта формула справедлива для небольших DT). Коэффициент a по данным эксперимента можно было бы определить так. Каждый опыт дает определенное значение a_n:

a_n = E_n/ D T_n, (6)

где E_n и D T_n - значения величин E и D T, полученные в n -м опыте. Индекс n у величины a показывает, что это значение соответствует n -му опыту. Из значений a_n можно образовать среднее

. (7)

Здесь следует отметить, что это простой, но не самый лучший способ определения a. В самом деле, D T есть величина, характеризующая условия опыта, которую мы знаем практически точно, а Е есть результат опыта, известный с погрешностью. Погрешность D Е одинакова во всех измерениях. Тогда ошибка в величине a, равная D Е_n/ D T_n, тем больше, чем меньше D T_n. Иначе можно сказать, что значение a, вычисленное по формуле (7), не является наилучшей оценкой истинного a. Это является следствием того, что величины a неравноточные.

Строго задача о нахождении наилучшей оценки истинного значения a по данным эксперимента и известной зависимости типа Y=aX (в данном случае E=a× D T) ставится так. Необходимо найти такое значение a, при котором функция E=a× D T наилучшим образом соответствует опытным данным (смысл нечеткого выражения "наилучшим образом" станет ясным из дальнейшего).

Выберем за меру отклонения функции от экспериментальных данных для n -го опыта величину (E_n-a D T_n)². Если бы за меру отклонения была взята просто величина E_n-a D T_n, то сумма отклонений в нескольких опытах могла бы оказаться весьма малой за счет взаимного уничтожения отдельных слагаемых большой величины, но имеющих разные знаки. Это, однако, вовсе не говорило бы о том, что функция E=a D T хороша. Очевидно, что такого взаимного уничтожения не будет, если мера отклонения выбрана в виде (E_n-a D T_n)².

Итак, в качестве меры общего отклонения S в описании опытных данных функцией E=a D T необходимо взять сумму мер отклонений для всех опытов, то есть:

. (8)

Таким образом, наша функция будет наилучшим способом описывать опытные данные, если S, то есть сумма квадратов отдельных отклонений, минимальна. Метод определения констант, входящих в формулу, из требования минимальности S, называется методом наименьших квадратов.

Величина S является функцией a, т.е. S=S(a). Чтобы найти такое значение a₀, которое доставляет минимум функции S (наилучшее значение a), необходимо, как известно, решить уравнение dS/da=0. Используя (8), получаем:

или ,

что дает . (9)

Итак, подставляя в формулу (9) экспериментальные значения D Т_n и Е_n, рассчитывается значение a₀, являющееся наилучшей оценкой истинного a. Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

. (10)

Для расчета доверительного интервала D^о a выбирается доверительная вероятность a и определяется коэффициент Стьюдента t_a,k-1, т.е. для числа на единицу меньше числа проделанных опытов. Тогда, как обычно, D^о a=t_a,k-1S_a.

Теперь необходимо построить на графике экспериментальные точки и провести по ним "наилучшую" прямую, используя значение a₀. Это и будет градуировочная кривая термопары.