Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Сила Лоренца. Сила Ампера.

Рассмотрим взаимодействие зарядов в системе координат К¢, движущейся относительно системы К со скоростью v в направлении положительных значений оси X.

В общем случае проекции сил в различных системах координат не равны между собой. Однако, между ними имеются определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, т.е. их одинаковый вид в различных системах координат

dp_x/dt = F_x, dp_y/dt = F_y, dp_z/dt = F_z (9.1)

dp_x¢/dt¢ = F_x¢, dp_y¢/dt¢ = F_y¢, dp_z¢/dt¢ = F_z¢. (9.2)

Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца

p_y = p_y¢ p_z = p_z¢ (9.3)

Где E= m¢c² –полная энергия материальной точки, β=v/c.

Формулы приводятся к виду

F_x =dp_x/dt =(dp_x/dt¢) (dt¢/dt)= =

= F_x¢ + + (9.4)

F_y =dp_y/dt = (dp_y/dt¢) (dt¢/dt) = (9.5)

F_z =dp_z/dt = (dp_z/dt¢) (dt¢/dt) = (9.6)

Где u_x¢, u_y¢, u_z¢ - скорости точки в системе K¢; F_x¢, F_y¢, F_z¢ вошли в правые части уравнений в результате использования уравнений движения (9.2). При вычислении(9.4) принята во внимание формула

dE¢/dt¢ = F ¢ u ¢ (9.7)

выражающая закон сохранения энергии в системе координат K¢. С помощью формул сложения скоростей

(9.8)

Выражение (9.4) приведем к виду

F_x = F_x¢ + + (9.9)

Для упрощения (9.5) и (9.6) необходимо важное соотношение, которое получается из формул для преобразования скоростей. Запишем прямые и обратные преобразования, например, у-проекции скорости

Перемножая почленно левые и правые части этих равенств и сокращая полученные равенства на общий множитель u_уu_y¢ находим

(1+v u_x¢/c²)/(1-v u_x/c²)=1-β². (9.10)

Учитывая (9.10), преобразуем формулы (9.5) и (9.6)

F_y = (9.11)

F_z = (9.12)

Таким образом, с помощью формул (9.9), (9.10) и (9.12) сила в системе координат К выражена через силу в системе К¢. По принципу относительности можно написать и обратные преобразования.

Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Введем обозначения

Z = (F_x¢, F_y¢/Ö1-β², F_z¢/Ö1-β²) (9.13)

G =[0, - (v/c²) F_z¢/Ö1-β²), (v/c²) F_x¢/Ö1-β²)] (9.14)

Нетрудно проверить, что с помощью (9.13) и (9.14) формулы (9.9) (9.11) и (9.12) записываются в виде векторного равенства

F = Z + u × G (9.15)

Так как F – вектор, то и вся правая часть-вектор. Равенство справедливо для произвольных u. Следовательно, каждое из слагаемых в правой части является вектором. Поскольку

u × G и u –векторы, то и G тоже вектор. Таким образом, определяемые равенствами (9.13) и (9.14) величины Z и G являются векторами.