Читайте также:
|
Во втором разделе были подробно рассмотрены признаки потенциальности электростатического поля при сопоставлении его с полем тяготения. Разбирая особенности магнитного поля, уместно сравнить его с электростатическим.
1. Сопоставление свойств двух полей начнем, сравнивая их действия на движущийся заряд. На покоящийся заряд магнитное поле не действует, а электростатическое поле действует как на покоящийся, так и на движущийся заряд. Сила его действия по-прежнему задается напряженностью поля 
, введенной в самом начале этого курса уравнением (2.1). От скорости движения заряда она не зависит. Из определения следует, что сила, действующая на положительный заряд, совпадает по направлению с напряженностью. Естественно, если заряд отрицательный, сила направлена против поля.
Теперь предположим, что заряд движется. Направление его движения может быть произвольным по отношению к полю, поэтому поле по-разному будет дей-
ствовать на влетевший в него заряд: если положительный заряд движется в направлении поля, то сила, действующая с его стороны, сообщит заряду тангенциальное ускорение, совпадающее по направлению со скоростью. Естественно, тангенциальное ускорение может быть и отрицательным, если сила поля направлена против скорости. Заряд либо ускоряется, либо замедляется полем. Скорость заряда, а значит и кинетическая энергия, меняются. Изменение последней, как того требует закон сохранения, может происходить лишь за счет изменения той потенциальной энергии, которую имеет заряд, помещенный в поле. Наличие потенциальной энергии заряда, находящегося в электрическом поле, позволяет ввести потенциал поля (см. разд. 2.7).
Поле может сообщить и нормальное ускорение заряду, в него влетевшему, в том случае, если скорость заряда перпендикулярна полю. Из II закона Ньютона следует, что ускорение в этом случае будет также нормально к скорости, т.е. поле не будет менять величину скорости заряда и его энергию.
Магнитное же поле действует одинаково, как бы ни была направлена скорость его движения по отношению к полю, создавая всегда нормальное ускорение. Поскольку кинетическая энергия заряда, движущегося в магнитном поле, сохраняется, говорить об изменении его потенциальной энергии бессмысленно. Следовательно, нельзя ввести и понятие потенциала, его в магнитном поле не существует. Магнитное поле не совершает работы. Оно относится не к потенциальным полям, а к вихревым.
2. Потенциальность электростатического поля определяется тем, что работа по замкнутому контуру в этом поле равна нулю, т.к. не зависит от пройденного пути, а определяется лишь его конечной и начальной точками. Это свойство поля подробно разобрано в разд. 2.6. Оно приводит в итоге к тому, что интеграл по замкнутому контору от произведения 
равен нулю. Очевидно, умножив приведенное выше произведение на заряд, мы получим работу. Равенство нулю работы по замкнутому контуру часто принимается за основной признак потенциальности поля (см. выражения 2.42, 2.43).
Магнитное поле работы не совершает, поэтому произведение его напряженности 
на перемещение 
лишено физического смысла. Однако можно вычислить интеграл от этого произведения, взятый по какому-либо замкнутому контуру.
Сначала рассмотрим случай, когда замкнутый контур, вдоль которого будем вести интегрирование, охватывает бесконечный прямой провод с током (рис. 3.8.) Чтобы вычислить круговой интеграл от 
, выберем направление обхода по контуру. Пусть оно совпадает с направлением силовой линии поля, созданного этим током, тогда вектор элемента контура и напряженность поля составят между собой острый угол. Раскрывая скалярное произведение векторов, получим возможность ввести проекцию на направление , т.е. элемент окружности радиуса r, который может быть заменен через произведение rd φ:
 .
| (3.30) |
Заменяя H его значением для бесконечно длинного прямого провода (3.21) и интегрируя по dj, будем иметь
 .
| (3.31) |
Полученное выражение получило название теоремы полного тока. Оно является свидетельством непотенциальности поля, поскольку интеграл не равен нулю. Ток i здесь — это полный ток, охватываемый контуром, вдоль которого ведется интегрирование. В случае, если контур не охватывает проводник с током (рис. 3.9), полный ток равен нулю, значит равен нулю и интеграл по этому контуру. Доказательство равенства интеграла нулю основано на том, что для участка контура, где направление , определяемое направлением обхода, не совпадает с , угол a — тупой, и значения косинусов отрицательны. Путь интегрирования разбивается на два участка, на которых интегралы противоположны по знаку. Сумма их даёт нуль.
Признаком потенциальности поля является равенство нулю соответствующего интеграла, взятого по любому замкнутому контуру. Для магнитного поля этого не наблюдается. Сравнивая два поля, можно записать
 ;  .
| (3.32) |
3. Силовые линии электростатического поля всегда имеют начало на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных, они не замкнуты. Электростатическое поле имеет источник — заряд. Наличие источника и незамкнутость силовых линий есть отличительный признак потенциальных полей. Силовые линии магнитного поля, напротив замкнуты, они не имеют начала и конца.
3.8. Вычисление напряженности магнитного поля тора и соленоида
Теорема полного тока очень важна потому, что наиболее полно и вместе с тем лаконично выражает основное свойство магнитного поля — его непотенциальность. Помимо этого, в целом ряде случаев она имеет прикладное значение: с помощью теоремы легко вычисляется напряженность некоторых полей.
В качестве примера рассмотрим тороидальную катушку (рис. 3.10). Если по тороиду течет ток i, то для контура в виде окружности произвольного радиуса r, проходящей внутри витков, теорема полного тока дает
 ,
| (3.33) |
где N — число витков тороида, а iN — полный ток, пересекающий контур. Так как распределение токов относительно оси тороида симметрично, то напряжённость на одинаковых расстояниях от оси одна и та же. Поэтому H выносится за знак интеграла, а круговой интеграл от dl даёт длину окружности:
H×2pr = iN и  .
| (3.34) |
Рассматривая окружности радиусов R1 и R2, мы легко убедимся, что для них
 .
| (3.35) |
В первом случае нуль получается потому, что контур R1 не охватывает никакого тока. Во втором случае площадь, ограниченную контуром радиуса R2, пересекает суммарный ток iN, текущий в одном направлении и такой же ток, но текущий в противоположно направлении. Сумма их, очевидно, равна нулю.
Тороид отличается от прямого соленоида только тем, что ось его свёрнута в виде окружности. Поэтому выражение (3.34) будет пригодно и для вычисления напряжённости магнитного поля прямого соленоида, если 2πr заменить длиной контура l. Тогда
 ,
| (3.36) |
где n есть число витков на единицу длины или плотность намотки, а произведение iN называется числом ампер-витков.
Полученный результат справедлив лишь в случае достаточно длинного соленоида, т.е. тогда, когда можно пренебречь искажениями поля, возникающими вблизи концов. В противном случае придется прибегнуть к закону Био —Савара, интегрирование которого связано с трудностями замены переменных и интегрированием векторных величин. Поскольку трудности носят чисто математический характер, оставим эти вопросы на практические занятия.
3.9. Примеры использования силы Лоренца
Начало двадцатого века связано с открытиями, позволившими познать не только строение атома, но и ядра, найти частицы, его составляющие. И всё это несмотря на то, что атом до сих пор остается невидимым! Одной из характеристик атома, ядра и составляющих его частиц является масса. На экспериментальном ее определении основаны не только теории, но и весьма существенные для современной атомной промышленности расчеты. Приборы, с помощью которых определяют массу атомов, элементарных частиц, носят название масс-спектрографов. Первый масс-спектрограф был сконструирован в 1913 году в Англии учителем Резерфорда Дж. Томсоном, который открытием электрона (1897г.) положил начало изучению многочисленных элементарных частиц.
В настоящее время типов масс-спектрографов много, но все они основаны на совместном действии электрических и магнитных полей. Электрические поля используются для ускорения элементарных частиц, либо атомов вещества, переведенного в газообразное состояние, которые для этого должны быть предварительно ионизированы. Это одновременно достигается, например, в том случае, если из исследуемого вещества изготовить два электрода и пропустить между ними электрический ток. Разность потенциалов, которую проходят заряженные частицы, задает им кинетическую энергию
 .
| (3.37) |
Для определения массы частицу направляют в магнитное поле, которое может иметь различное по отношению к скорости направление. Рассмотрим тот случай, когда пучок ускоренных частиц попадает в однородное магнитное поле, направленное к нему перпендикулярно. В этом случае движение их будет движением по окружности согласно уравнению (3.24). Совместное решение уравнений (3.24) и (3.37) даст возможность определить массу частицы по известному напряжению, магнитной индукции и радиусу кривизны траектории частицы в магнитном поле:
 .
| (3.38) |
Радиус может быть рассчитан по геометрическим параметрам прибора и отклонению частицы при фиксировании ее либо на флюоресцирующем экране, либо на фотопластинке. Расчет отнесем на практические занятия. Схема действия прибора приведена на рис. 3.11а.
 |
 .
| (3.39) |
Естественно, что работа масс-спектрографа требует решения многих проблем: создание пучка ионизированных частиц, его фокусировка, регистрация, наконец, измерение малых промежутков времени. Достижения современной электроники позволяют выполнить все эти условия столь ювелирно, что массы частиц, до сих пор невидимых, определяются с точностью до 10–6–10–7 а.е.м., т.е. до шестого либо седьмого знака. Значения масс атомов сведены в таблицы, часть которых приведена в наших задачниках.
На действии электрических и магнитных полей основана работа ускорителей элементарных частиц. Частицы ускоряются всегда только электрическим полем. В линейных ускорителях создаётся большая разность потенциалов, пройдя которую, частицы получают большую энергию, двигаясь по прямой. Создание требуемой разности потенциалов связано с ограничениями из-за того, что при большом потенциале проводника заряды начинают с него стекать. В циклических ускорителях частица под действием магнитного поля движется по криволинейной траектории и многократно проходит электрическое поле с одной и той же разностью потенциалов, каждый раз увеличивая свою кинетическую энергию на величину qU.
Простейшим ускорителем является циклотрон, принципиальная схема которого приведена на рис. 3.12. Ускорение частиц происходит при их движении между двумя полыми коробками — дуантами. Между дуантами приложено электрическое напряжение, которое и ускоряет частицу. Перпендикулярно дуантам создаётся магнитное поле, которое изменяет направление движения частицы, сообщая ей нормальное ускорение. В результате частица описывает полуокружность и возвращается в промежуток между дуантами, где к моменту ее возвращения знаки на дуантах должны смениться, иначе движение частицы замедлится, а не ускорится. Время смены знаков на дуантах должно быть точно равно половине периода: D t = T/ 2.
На рисунке показана трубка, вводящая заряженные частицы в промежуток между дуантами вблизи центра циклотрона. Радиус траектории частиц возрастает по мере увеличения скорости, период же обращения сохраняется постоянным, т.к. он зависит от индукции магнитного поля, от массы и заряда частицы, и не зависит от её скорости. Действительно, найдя отношение R/ u из (3.24) и подставив его в выражение T = 2p R/ u, получим
 .
| (3.40) |
Строгое постоянство частоты подаваемого на дуанты напряжения и равенство ее частоте кругового движения зарядов является основой действия циклотрона.
По мере совершенствования техники удалось приблизить скорость частиц на выходе из циклотрона к скорости света. При этом наблюдалось нарушение в работе ускорителя: дойдя до определенной энергии, частицы дальше не ускорялись, а иногда и замедлялись. Это легко объясняется релятивистским увеличением массы частицы, которое следует из теории относительности. Период при этом возрастает, и в результате получается, что частица не успевает подойти к ускоряющему промежутку между дуантами к моменту смены знаков на них и тормозится электрическим полем. Можно сохранить период постоянным, если синхронно с массой увеличивать поле 
или при постоянном уменьшать частоту смены знаков на дуантах. Такие ускорители называют синхротронами.
Современные ускорители являются колоссальными и очень дорогостоящими инженерными сооружениями. Строительство таких научных ²приборов² подчас не под силу одной стране. Так, в Женеве работает синхротрон, построенный совместными усилиями 14 европейских стран. Ускоряемые на нем протоны достигают скорости 0,9994 скорости света. Подобные ускорители есть в Брукхейвене и в Беркли (США), в Дубне и в Серпухове (Россия) и др. Они используются, в основном, для физических исследований в области элементарных частиц. Но имеют и прикладное значение: получение изотопов, ускорение химических процессов, изменение физических свойств вещества.
Интереснейшей областью использования особенностей движения частиц в магнитном поле является проблема непосредственного преобразования тепла в электричество, минуя совершение механической работы в турбинах, которые вращают генераторы электрического тока. Обычный процесс получения электроэнергии (котел — турбина — генератор) сопряжен с большими потерями, особенно при переходе тепловой энергии в механическую. Затратив же тепловую энергию на получение ионизированного газа, можно без механических посредников превратить тепло в электричество. Генераторы, осуществляющие этот переход, получили название магнитогидродинамических (МГД-генератор).
Принципиальная схема одного из них — линейного фарадеевского генератора — изображена на рис. 3.13. Стрелкой показано направление вдуваемой в него плазмы, движущейся со скоростью u. Обычно плазму получают как продукт сгорания топлива, либо используют пары металлов. Магнитное поле 
вызывает отклонение положительных ионов в направлении, указанном на схеме горизонтальной стрелкой. Отрицательные частицы плазмы — электроны — будут отклоняться в противоположную сторону. Оседая на электродах, расположенных на стенках камеры, электроны и ионы создают разность потенциалов, необходимую для поддержания тока в нагрузке R.
Уже существуют различные типы МГД-генераторов с мощностями до десятков МВт и КПД до 20%. Чем выше температура плазмы, тем больше КПД
(вспомните цикл Карно!), поэтому применение МГД-генераторов наиболее перспективно на атомных электростанциях. В случае осуществления термоядерной реакции в промышленных масштабах эти генераторы будут единственно возможными первичными преобразователями получаемой в этой реакции тепловой энергии в электричество. Иные типы генераторов здесь принципиально невозможны из-за высокой температуры, при которой идёт реакция.
3.10. Амперова сила. Работа перемещения тока в магнитном поле
Протекающий по проводнику ток представляет совокупность зарядов, движущихся (дрейфующих) в одном направлении со средней скоростьюu. Если это движение происходит в магнитном поле, то каждый из них испытывает действие одинаково направленной силы. Складываясь, все эти силы дают равнодействующую, проявляющуюся в макроскопическом действии магнитного поля на проводник с током. Модуль силы, действующей в магнитном поле на элемент тока dl, можно найти, умножив величину силы Лоренца (3.23) на число движущихся зарядов в элементе тока, которое пропорционально их концентрации n и объёму элемента Sdl, если через S обозначить поперечное сечение проводника:
 dFA = (quB sina )(nSdl).
| (3.41) |
(Вспомните вывод закона Био — Савара, когда при переходе от магнитной индукции, созданной одним движущимся зарядом, мы перешли к индукции, созданной элементом тока). Введя силу тока i (2.88), получаем величину силы Ампера, действующей на бесконечно малый элемент проводника с током:
| dFA = idlB sina, | (3.42) |
где a — угол между векторами и , поскольку направление элемента dl совпадает с направлением скорости движения положительного заряда. В векторной форме
 ,
| (3.43) |
т.е. направление силы Ампера совпадает с направлением векторного произведения и . Заметим, что здесь, как и в случае лоренцевой силы, для определения направления можно пользоваться правилом левой руки, заменив им правило векторного умножения. Остается добавить, что силу Ампера 
, действующую на весь проводник, а не только на его бесконечно малый элемент, можно найти, складывая векторы 
, то есть интегрируя выражение (3.43) по длине проводника.
Интересно сопоставление двух сил — Лоренца и Ампера — с точки зрения возможности произвести работу. Первая сила лишь меняет направление движения заряда, но ускорить его не может, то есть работу не производит. Рассмотрение простейшего опыта (рис. 3.14) свидетельствует, что действие амперовой силы может привести к перемещению проводника, то есть к совершению работы, которую легко найти как скалярное произведение силы Ампера на перемещение проводника. В случае прямого проводника длиной l, при его бесконечно малом перемещении dx сила Ампера совершит элементарную работу
| dA = FAdx cos0 = ilBdx. | (3.44) |
Введём понятие потока вектора магнитной индукции, используя определение потока (1.2):
 .
| (3.45) |
В нашем случае элемент поверхности da находится как произведение ldx, а угол между нормалью к поверхности направлением поля равен нулю. Тогда
| dA = i dФ, | (3.46) |
т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна изменению потока магнитной индукции, происшедшему в процессе этого перемещения. Тот факт, что работа при движении проводника с током в магнитном поле отлична от нуля, казалось бы, противоречит тому, что сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, не совершает никакой механической работы. Это кажущееся противоречие разрешается, если принять во внимание, что на самом деле работа совершается не магнитным полем, а источником тока.
3.11. Рамка с током в магнитном поле
Действие магнитного поля на помещённую в него рамку с током зависит от взаимного расположения рамки и тока. Рассмотрим последовательно три случая, соответствующие трём разным положениям рамки относительно поля.
 |
. Определяя направление амперовой силы, действующей на каждую из сторон рамки, убедимся, что при указанном направлении тока рамка будет растянута полем и при отсутствии жёсткости материала деформируется в круг. Если изменить направление либо поля, либо тока, рамка будет сжата магнитным полем.
На рис. 3.16 поле направлено параллельно двум сторонам рамки. На них амперова сила действовать не будет, поскольку угол между стороной рамки и полем равен нулю. На две стороны а рамки, перпендикулярные полю, будет действовать пара сил и создавать вращающий момент, равный произведению FА на длину стороны b. Если рамка имеет ось, проходящую через середины её сторон, то под действием момента сил рамка повернётся и встанет так, что её плоскость будет перпендикулярна полю . Интересен случай, когда поворот рамки сопровождается возникновением в подвесе упругих сил, возвращающих рамку в исходное положение. В этом случае рамка будет совершать колебания. Это не будут колебания материальной точки, кинематика и динамика которых рассмотрены в I ч. курса лекций, разделы 4.1 и 4.2. Но изложенные там закономерности легко перевести на язык законов, определяющих характер вращательного движения твёрдого тела, что вы и делали в I семестре, выполняя лабораторную работу по определению момента инерции тела методом крутильных колебаний.
Прежде, чем перейти к подробному описанию колебаний рамки, рассмотрим положение рамки, изображённое на рис. 3.17, когда угол между полем и нормалью к рамке имеет промежуточное значение γ. В этом случае амперова сила будет определяться не полем , а его составляющей B | |, которая параллельна плоскости рамки и пропорциональна углу отклонения:
| B | | = B sing» B g, | (3.47) |
если отклонения рамки невелики (g << 1). Угол же между этой составляющей и сторонами а будет прямым, поэтому момент пары сил
| M = FAb = iaB | | b = iB | | S, | (3.48) |
где S — площадь рамки.
Здесь уместно ввести новое понятие — магнитный момент. Последним называют произведение силы тока на площадь, им обтекаемую. Магнитный момент 
, как и момент силы, принято считать вектором, совпадающим с нормалью к рамке, если за её положительное направление выбрать направление поступательного движения буравчика, вращаемого по направлению тока:
 .
| (3.49) |
При наличии упругих возвращающих моментов возникнут колебания, и угол между нормалью к рамке и полем будет периодически меняться. Это движение можно описать уравнениями, аналогичными тем, что даны в I ч. при описании колебаний материальной точки:
g = g m cosw t и  ,
| (3.50) |
где γ m — максимальный угол отклонения; ω— циклическая частота колебаний.
Второй закон Ньютона для рассматриваемого случая будет выглядеть так:
iB | | S = I  или iSB g = – I w2g,
| (3.51) |
где I — момент инерции рамки относительно оси, проходящей через середины двух её сторон. Он может быть найден как сумма моментов двух стержней длиной b относительно оси, проходящей через их середину, плюс момент инерции двух стержней длиной а, расположенных параллельно оси вращения на расстоянии b/2 от неё. Последнее уравнение даёт возможность по известным параметрам рамки и магнитного поля найти период колебаний. Можно решить и обратную задачу — по периоду колебаний рамки в магнитном поле найти его индукцию. Об использовании этого метода определения речь шла выше.
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 182 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |