Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Движение заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле

Пусть в пространстве существует однородное и постоянное магнитное поле. Такое поле характеризуется в любой точке пространства одним и тем же вектором В. Построим систему координат так, чтобы ось у совпа­дала по направлению с вектором В магнитной индукции. При этом две проекции В_х и В_z вектора В будут равны нулю: В {0, В, 0}. Исследуем движение заряженной частицы в таком поле

Запишем второй закон Ньютона:

m v ¢ = q [ v В ], (5.4)

где m, q - масса и заряд частицы.

Проекции вектора [ v В ] на оси координат можно найти по известному правилу из векторной алгебры:

[ ]= =

При помощи этого выражения запишем второй закон Ньютона в проек­циях на оси координат:

mv_x ¢ = - q В v_z, т v_y ¢ = 0, mv_z ¢ = q В v_x. (5.5)

Решив эту систему уравнений, можно найти при заданных начальных условиях зависимость от времени вектора скорости частицы: v = v(t), a затем из уравнения r ¢ = v - зависимость r = r (t), описывающую движение частицы.

Задача. Решить систему уравнений (5.5). Найти зависимость r = r (t) при произвольных начальных условиях. Показать, что траекто­рией движения заряда в магнитном поле является винтовая линия.

Согласно формуле (5.2) сила Лоренца равна нулю, когда вектор скоро­сти коллинеарен вектору магнитной индукции. Поэтому вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно:

F = 0, v = const.

Направим ось у вдоль силовых линий магнитного поля (рис. 5.3). В
таком случае координата у заряженной частицы будет изменяться со
временем по закону

y(t)=y₀+vt

Рис.5.3. Вдоль силовой линии однородного магнитного поля заряженная частица движется равномерно и прямолинейно

Пусть в начальный момент времени t = 0 скорость заряда была пер­пендикулярна вектору В: v_y (0) = 0. При этом из второго уравнения системы (5.5) следует, что v_y (t) = 0, т.е. частица все время будет дви­гаться в плоскости перпендикулярной вектору В: v ^ В. Так как сила Лоренца работу не совершает и кинетическая энергия частицы со вре­менем не изменяется, модуль вектора скорости также постоянен. В этом случае тангенциальное ускорение а_т = v ¢ будет равно нулю, а нормальное ускорение в силу второго закона Ньютона будет

а_п =| q | vB/m

В

(5.6)

Рис. 5.4- Когда скорость за­ряженной частицы перпенди­кулярна силовым линиям одно­родного магнитного поля, она движется по окружности

Видно, что в постоянном и однород­ном магнитном поле нормальное уско­рение заряженной частицы со

време­нем не изменяется. Это означает, что частица будет двигаться по окружно­сти (рис. 5.4). Радиус

R этой окруж­ности найдем при помощи формулы для центростремительного ускорения

а_п = v²/R (5.7)

Приравняем правые части равенств (5.6) и (5.7). Получим:

R= т v/ (| q | B)

В общем случае заряженная частица в однородном магнитном поле мо­жет совершать два вида движений. Во-первых, частица может двигаться равномерно с некоторой скоростью v||_ вдоль прямой, которая является силовой линией магнитного поля. Во-вторых, частица может двигаться с постоянной скоростью v ^ _ по окружности, которая расположена в плос­кости, к которой силовые линии магнитного поля перпендикулярны. Эти два движения частица может совершать одновременно. В таком случае траекторией движения частицы будет винтовая линия (рис. 5.5). Эта линия характеризуется такими параметрами, как радиус R и шаг h, т.е. наименьшее расстояние между двумя точками на этой линии, отсчитан­ное вдоль ее оси. При этом проекции v||_ и v^ _ вектора скорости v будут связаны с его модулем и углом а между ним и вектором В соотношени­ями

v|| = v cos a, v ^ = v sin a.

Время Т, за которое частица совершает один оборот по винтовой ли­нии, называется периодом обращения. За это время, двигаясь по окруж­ности со скоростью v ^, она пройдет путь 2p R, а при движении вдоль силовой линии со скоростью v|| - путь h:

2p R = v ^ Т, h = v|| Т.

Радиус R винтовой линии связан со скоростью v± соотношением

R=m v ^/ / (| q | B)

Рис. 5.5. Траектория движения заряженной частицы в однородном и постоянном магнитном поле - винтовая линия