Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Изучение КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы: изучение простейшей колебательной системы – математического маятника.

Приборы и принадлежности: «Математический маятника»

Краткое теоретическое введение

Физическая система, совершающая колебания, называется осциллятором (лат. oscillo - качаюсь).

Гармонический осциллятор - осциллятор, совершающий гармонические колебания согласно уравнению:

(1)

Решения уравнения (1) имеют вид:

(2)

(3)

Классические осцилляторы - физический маятник, математический маятник.

Физический маятник - твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О подвеса, не проходящей через центр масс С тела (рис.1).

Если маятник отклонен от положения равновесия на некоторый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы F можно записать в виде:

(4)

где J - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О; l - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; F_τ - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направление F_τ и α всегда противоположны); sinα ≈ α соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия.

Уравнение (4) можно записать в виде:

или

Принимая

(5)

получим уравнение

решение которого имеет вид:

(6)

Из выражения (6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω _о и периодом:

(7)

где L - приведенная длина физического маятника, численно равная:

Приведенная длина физического маятника - длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Точка О' на продолжении прямой ОС (рис.1), отстоящая от оси подвеса на расстоянии приведенной длины L, называется центром качания физического маятника.

Оборотный маятник - один из типов физического маятника. Частным случаем физического является математический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке - центре масс.

Математический маятник - идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой, невесомой нити, и колеблющейся под действием силы тяжести (рис.2).

Период колебаний математического маятника:

(8)

Циклическая частота математического маятника:

(9)

Если определить период колебаний математического маятника Т ₁ при длине l ₁, а затем удлинить нить и снова определить период колебаний Т ₂ при длине l ₂, то можно найти ускорение свободного падения следующим образом:

;

;

Следовательно

(10)

Задание 1. Определить ускорение свободного падения

Определить время 10 полных колебаний при различной длине нити l, различной амплитуде А, и различных значениях коэффициента затухания k. Определить периоды колебаний. Рассчитать ускорение свободного падения по формуле (10). Результаты эксперимента занести в таблицу 1.

Таблица 1

Задание 2. Проверить справедливость формулы для вычисления периода колебаний математического маятника.

1. Определить время 10 полных колебаний для фиксированного значения А и k = 0. Определить периоды. Сравнить полученные значения с формулой 8. Результаты занести в таблицу 2.

Таблица 2

2. Построить зависимость T = f ₁(l) и T ² = f ₁(l).

3. Определить время 10 полных колебаний для фиксированного значения А и k = 0.09. Определить периоды. Сравнить полученные значения с формулой 8. Результаты занести в таблицу 3.

Таблица 3