Читайте также:
|
При рассмотрении случайных событий иногда мы сталкивались с событиями, состоящими в появлении того или иного числа. Например, при бросании игральной кости (кубика) могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 есть возможные значения этой величины.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения—соответствующими строчными буквами х, у, г. Например, если случайная величина Х имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x1, x2, x3.
Дискретные и непрерывные случайные величины
Вернемся к примерам, приведенным выше. В первом из них случайная величина Х могла принять одно из следующих возможных значений: О, 1, 2,..., 100. Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором и третьем примерах случайные величины могли принять любые из значений промежутков (а,b) и (c, d). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.
Уже из сказанного можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Дадим более точное определение:
Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.
Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности -это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их появления — различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Заданное соответствие между возможными значениями ДСВХ и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности:
Х x1 x2 … xn
р p1 p2 … pn
Эта таблица называется рядом распределения.
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х=х1, Х=х2, …, Х=хn - образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице: 
Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд 
сходится и его сумма равна единице.
Пример1. В партии из восьми деталей пять стандартных, наудачу взяты четыре детали. Построить ряд распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Пусть Х—число стандартных деталей среди четырех отобранных. Оно может принять следующие четыре значения: х1=1, х2=2, х3=3, х4=4. Вычислим вероятность появления каждого из них:
Проверим вычисления. Складывая полученные вероятности, получим: 1/14+ 6/14+ 6/14 + 1/14=1. Искомый ряд распределения данной ДСВХ имеет вид: Х 1 2 3 4
р 1/14 6/14 6/14 1/14
Ряд распределения можно представить графически, если по оси абсцисс отложить возможные значения ДСВХ, а по оси ординат - соответствующие вероятности. Соединив полученные точки отрезками, получим ломаную, называемую многоугольником распределения вероятностей. Построим многоугольник распределения по результатам предыдущей задачи
Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е. 
Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.
Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина 
удовлетворяет неравенствам 
.
Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее 
Это событие распадается на сумму двух несовместных событий: 1) случайная величина принимает значения, меньшие 
, т.е. 
; 2) случайная величина принимает значения, удовлетворяющие неравенствам Используя аксиому сложения, получаем 
Отсюда 
.
Но по определению функции распределения F(x), имеем 
, 
; cледовательно, 
. Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.
Рассмотрим основные свойства функции распределения. 1°. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то 
Поэтому из формулы (19) следует, что 
, т.е. 
2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам 
Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность. Ясно, что * 
и 
.
3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi, равна скачку функции распределения в точке xi.
Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и 
. Полагая в формуле (19) 
, 
, получим 
.В пределе при 
вместо вероятности попадания случайной величины на интервал 
получим вероятность того, что величина примет данное значение xi: 
C другой стороны, получаем 
, т.е. предел функции F(x) справа, так как . Следовательно, в пределе формула (20) примет вид 
(21) т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi.
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 172 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |