Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Частота. Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Геометр. Опр. Вероятности. Гипергеометр.распределение.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой W (А) = m / n, где m - число появлений события, n - общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах, относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

При рассмотрении результатов отдельных испытаний очень трудно найти какие-либо закономерности. Однако в последовательности одинаковых испытаний можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеристик. Частостью какого-либо события в данной серии из n испытаний называется отношение m/n, числа m тех испытаний, в которых событие А наступило, к общему числу испытаний n. Почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частость события А устанавливается около определенного значения m/n, которое принимается за вероятность события А. Устойчивость значения частости подтверждается специальными экспериментами. Статистические закономерности такого рода были впервые обнаружены на примере азартных игр, т. е. на примере тех испытаний, которые характеризуются равновозможностью исходов. Это открыло путь для статистического подхода к численному определению вероятности, когда нарушается условие симметрии эксперимента. Частость события А называют статистической вероятностью, которая обозначается , где mA - число экспериментов, в которых появилось событие А;

n - общее число экспериментов.

Формула служит для экспериментального определения частости события. Чтобы воспользоваться формулой, необходим опытный статистический материал.

Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом бросается точка T, причем все точки области W равноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение , где S(A) и S(W) — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и W соответственно.

Гипергеометрическое распределение

Многие задачи комбинаторики могут быть сведены к следующей модели. В генеральной совокупности из n элементов имеется элементов красного цвета и черного. Случайным образом выбирается группа из r элементов. Найдем вероятность того, что так выбранная группа будет содержать ровно k красных элементов. Здесь k может быть любым целым числом между нулем и наименьшим из чисел и r.

Для того, чтобы найти заметим, что выбранная группа состоит из k красных и r-k черных элементов. Красные элементы могут быть выбраны различными способами, а черные способами. Так как любой выбор красных элементов может комбинироваться с любым выбором черных, имеем Определенный таким образом набор вероятностей называется гипергеометрическим распределением. Используя формулу можно переписать (1) в виде

Замечание. Вероятности определены только для k, не превосходящим r или , но, так как при b>a , из формулы (1) и (2) следует, что = 0, если либо k> либо k>r. Следовательно, определения (1) и (2) могут использоваться для всех при условии, что соотношение = 0 интерпретируется как невозможность такого выбора.