Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

аксиомы

События

Как и многие объекты математики, события можно определить на основе теории множеств.

Согласно определению Колмогорова, имеем множество U элементарных событий. Что представляют собой эти события и какова их природа считаем несущественным.

Далее предполагаем, что фиксирована некоторая система подмножеств множества U. Эти подмножества называют событиями. При этом требуем:

* само множество U есть событие;

* если A – событие, то и ~A (не А) тоже событие (~A – дополнение A до U);

* если A,B,C,… -события, то и их сумма, и их произведение тоже события (под суммой понимают объединение соответствующих компонентов U, а под произведением – их пересечение). Число слагаемых (множителей) может быть и бесконечным.

Система событий, удовлетворяющая перечисленным трем свойствам называется борелевским полем событий или «сигма»-алгеброй.

В задачах, где число элементарных событий конечно, под событием принято понимать все возможные подмножества U, в этом случае все три требования безусловно выполняются.

Два события A и B, не имеющие, как подмножества U, общих элементов, называются несовместными. События A и ~A называются противоположными. Событие U называется достоверным. Событие ~U называется невозможным.

аксиомы

За аксиомы берутся свойства вероятности, отмеченные на примерах классической и статистической вероятности. Теория является обобщением понятия вероятности.

1). Каждому событию A ставится в соответствие число P(A), называемое вероятностью этого события. 0<=P(A)<=1.

2). Если A, B, C, … набор несовместных событий, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей слагаемых. Для бесконечно большого количества слагаемых имеем дело с рядами. Это предложение называют расширенной аксиомой сложения.

2’). (аксиома аддитивности = сложения) Если AÇB=V, то P(AÈB)=P(A)+P(B).
эту аксиому можно методом математической индукции развернуть на счетное число слагаемых.

3). Вероятность события U рана 1.

Перечисленные предложения принимаются без доказательства. Остальные предложения теории вероятностей доказываются.

Пример: P(A)ÈP(~A)=1;

== AÇ~A=V (2’)=> P(AÈ~A) = P(A)+P(~A) = P(U); (3)=> P(A)+P(~A)=1. ==

следствие: P(~U)=P(V)=0.

Теорема: P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(A*B)

== A = AÇU = AÇ(BÈ~B) = (AÇB) È (AÇ~B), оба события справа несовместны.

аналогично B = (AÇB) È (~AÇB)

имеем AÈB = (AÇB) È (~AÇB) È (AÇ~B) = B È (AÇ~B), и здесь справа оба события несовместны

Для несовместных событий, согласно аксиоме 2’, имеем:

P(A) = P(AÇB) + P(AÇ~B)

P(AÈB) = P(B) + P(AÇ~B); вычитаем из этого равенства предыдущее, получаем

P(AÈB) – P(A) = P(B) – P(AÇB)

P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB) ==

При классическом определении аксиома 1 содержалась в самом определении, а аксиомы 2 и 3 были доказаны как свойства классической вероятности.

Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют объекты (например, построенные классическим определением), где они выполнены.

Еще один пример: берем квадрат со стороной 1. Испытание заключается в случайном выборе точки квадрата. Событиями будим считать всякие подмножества точек квадрата, для которых имеет смысл понятие площади. Нетрудно проверить, что все аксиомы выполняются.

Система аксиом Колмогорова неполна. Даже для одного и того же множества событий значения вероятностей могут быть разными: например, для игральной кости с 6 гранями можем считать вероятности событий (выпадение 1.. 6 очков) одинаковыми и равными 1/6 или считать вероятности выпадения нечетных значений равными ¼, а четных = 1/12.

Не следует считать неполноту аксиом свидетельством их неудачного выбора, наоборот, остается возможность «подстройки» теории под реальные объекты.

Теорема о зависимости значения вероятности события от самого события

Теорема: (о непрерывной зависимости вероятности события от события)

Пусть события A₁, A₂, … таковы, что каждое последующее влечет за собой предыдущее. A_iÌA_i+1Тогда lim P(n) = P(A), где A = A₁ÇA₂Ç…

== возьмем некоторый a из A. Возможны два случая: a принадлежит любому из A_i и a принадлежа некоторому A_k не принадлежит A[_k+1].

То есть A₁ = A È (A₁Ç~A₂) È (A₂Ç~A₃) È …

P(A₁) = P(A) + P(A₁Ç~A₂) + P(A₂Ç~A₃) + … Имеем сходящийся ряд.

Аналогично рассуждая для случая, когда в исходной последовательности отброшены начальные события, получаем: для любого n A_n = A È (A_nÇ~A_n+1) È (A_n+1Ç~A_n+2) È …

P(A_n) = P(A) + P(A_nÇ~A_n+1) + P(A_n+1Ç~A_n+2) + … = P(A)+R_n(A).

Rn(A) – остаток сходящегося ряда и его предел равен 0.

То есть lim P(An) = P(A) + 0. ==

Аксиомы Колмогорова дают удобную математическую схему для исследования некоторых теоретических опытов.

Схема включает в себя три объекта:

* Множество элементарных событий U

* Систему подмножеств U, называемых событиями с операциями суммы и произведения

* Функцию P(A), определенную на множестве событий и удовлетворяющую аксиомам.

Совокупность этих трех компонент называют вероятностной моделью данного опыта.

С появлением системы аксиом появилась возможность определить предмет теории вероятностей в достаточно точных терминах.

Теория вероятностей занимается изучением всевозможных вероятностных моделей.

Задание модели есть задание счетно-аддитивной неотрицательной меры на измеримом пространстве, такой, что m(U)=1.

Как следует из системы аксиом Колмогорова, теория вероятностей есть не что иное, как теория нормированных мер.

Условные вероятности

В основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий, и, если никаких ограничений, кроме комплекса условий, определяющих испытание, не налагается, то получаемые вероятности называют безусловными.

Рассмотрим ситуацию, когда из ящика, в котором а белых и bчерных шаров, наугад вынимают последовательно один за другим два шара. Рассмотрим события: А — «первый шар белый», В — «второй шар белый».

Понятно, что Р (А) = . Какова же вероятность события В?

Если событие А произошло, то среди оставшихся а+b— 1 шаров только a—1 белых, поэтому вероятность того, что второй шар белый, . Если же А не произошло, то среди оставшихся шаров белых с, поэтому вероятность того, что второй шар белый,

Мы столкнулись с ситуацией, когда вероятность появления события В зависит от того, произошло или не произошло событие А. В таком случае говорим, что событие В зависит от события А, а вероятность появления события В условная.

Условную вероятность появления события В, если событие А произошло, будем обозначать Р(В|А) или. P_A(B)

Найдем способ вычисления таких вероятностей.

Пример: Из колоды карт вынуты две. Найти: безусловную вероятность события, что вторая карта – туз; вероятность события, что вторая карта – туз при условии, что первая карта – туз.

Событие, что вторая карта – туз, распадается на два: «первая карта – туз и вторая карта – туз» и «первая карта не туз, а вторая – туз». Его вероятность P(A) = [(4/36)*(3/35)]+[(32/36)*(4/35)] = (4*3+32*4)/(36*35) = 1/9

Искомой условной вероятностью будет 3/35.

Исходя из классического определения вероятности P(A|B) = r/k = (r/n)/(k/n) = P(AÇB)/P(B)

r – количество случаев наступления события A, при выполнении события B,
k – количество случаев наступления события B.

(Для предыдущего примера P(A|B) = P(AÇB)/P(B) 3/35 = [4/36*3/35]/[4/36])

Равенство P(A/B) = P(AÇB)/P(B) получено исходя из классического определения вероятности. При аксиоматическом построении оно является определением условной вероятности.

P(A|B) = P(AÇB)/P(B); аналогично P(B|A) = P(AÇB)/P(A)

P(AÇB) = P(A|B)*P(B) = P(B|A)*P(A).

Если A и B несовместны (P(AÇB)=0), имеем P(B|A) = P(A|B) = 0.

Условная вероятность тесно связана с понятием независимости событий.

(Для независимых событий P(AÇB) = P(A)*P(B), сравним с определением…)

Событие A не зависит от B, если P(A)=P(A|B).

== Если A не зависит от B, то есть P(A)=P(A|B), то P(A)*P(B)=P(A|B)*P(B)=P(B/A)*P(A), имеем, что P(B)=P(B/A), и событие B не зависит от события A. == Отношение независимости взаимно.

Если A и B независимы, то независимы будут ~A и B; A и ~B; ~A и ~B.

== P(A/B)+P(~A/B)=1 P(A)+P(~A/B)=1 P(~A/B)=P(~A) == доказана независимость ~A и B. Остальные доказываются аналогично.

Для независимых событий P(AÇB) = P(A) * P(B)

Понятие независимости можно расширить на совокупность из n событий.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных. Для независимости событий в их совокупности недостаточно, чтобы они были попарно независимы.

Пусть n=3, имеем независимые события А₁, А₂, А₃.

Попарная независимость выражается формулами P(A_iÇA_j)=P(A_i)*P(A_j) при i<>j.

Для независимости в совокупности выполняются

P(A₁|A₂ÇA₃) = P(A₁)*P(A₂ÇA₃) = P(A₁ÇA₂ÇA₃).

Это более строгое условие, из выполнения которого следует попарная независимость событий. Однако события могут быть попарно независимы, если это равенство и не выполняется.

Пример

Бросаются две монеты. Рассмотрим события: А₁ – на первой монете герб, А₂ – на второй монете герб, А₃ – обе монеты одной стороной.

Всего имеем 4 случая: (герб, герб), (герб, цифра), (цифра, герб), (цифра, цифра).

P(A₁)=2/4 = 1/2 P(A₂)=2/4 = 1/2 P(A₃)=2/4 = 1/2

Имеем, P(A_iÇA_j) = 1/4 = P(A_i)*P(A_j), но P(A₁ÇA₂ÇA₃)=1/4 <> P(A₁)*P(A₂)*P(A₃)=1/8.

Определить множество независимых события следует так:

События A₁, A₂, … A_n независимы, если для любого k<=n справедливо условие
P(А₁ÇА₂Ç…ÇА_k) = P(А₁)*P(А₂)*…*P(А_k).

В частности, для независимых в совокупности имеет место формула

P(А₁ÇА₂Ç…ÇА_n) = P(А₁)*P(А₂)*…*P(А_n).