Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Бесконечно малые и бесконечно большие величины.

Функция α(х) называется бесконечно малой величиной при х → х ₀ или х →∞, если ее предел равен нулю.

Теорема. Если функция имеет при х → х ₀ (х →∞) предел, равный А, то ее можно представить в виде суммы этого числа А и бесконечно малой α(х) при х → х ₀ (х →∞)

Свойства б. м. в.:

- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

- Произведение б. м. в. на ограниченную функцию есть величина бесконеч-но малая.

- Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел ко-торой не равен нулю, есть величина бесконечно малая.

Функция f (x) называется бесконечно большой величиной при x → х ₀, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М, найдется такое положительное число δ, зависящее от М, что для всех x, не равных x ₀ и удовлетворяющих условию | x – x ₀ | < δ, будет верно неравенст-во | f (x) | > M.

Свойства б. б. в.:

- Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая.

- Произведение б. б. в. на функцию, предел которой не равен нулю есть ве-личина бесконечно большая.

- Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имею-щую предел, есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция α(х) есть б. м. в., то функция f (x) =1/α(х) является величиной бесконечно большой. И обратно, если функция f (x) является б. б. в., то функция α(х)=1/ f (x) есть величина бесконечно малая.

7. Первый и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел: lim sin x / x = 1(при х->0)

S_∆AOB < S_{сект. AOB} < S_∆AOC

½ R² sin x < ½ R² x < ½ R² tg x

1 < x / sin x < 1/cos x

cos x < sin x / x < 1

lim cos x = 1

lim 1 = 1

lim sin x / x = 1.

Второй замечательный предел: lim(1 + 1/n)ⁿ = e (при n->∞)