Читайте также:
|
Какие функции имеют производные?
Теорема.Если в точке х существует 
то функция y = f ( x ) непрерывна в точке х.
Доказательство. 
непрерывна в точке х.
Но непрерывная в точке 
функция может не иметь 
Пример. y = f ( x ) = | x | - непрерывна в т. = 0.
Но 
Рисунок 3. Поэтому не 
Геометрически – не существует касательной в т. 0.
Как находить ?
I. Таблица производных элементарных функций
II. Правила дифференцирования
1. 
2. 
где С = const.
3. 
4. 
III. Производная сложной функции
Пусть 
- сложная функция и функции u = φ( x ) и y = f ( u ) дифференцируемы. Тогда
Нестрогое доказательство.
Переходим к пределу при ∆ х → 0. Тогда ∆ u → 0 (т.к. u = φ ( x ) дифференцируема, то она непрерывна) и 
Пример. 
Дифференциал d f( x ) функции f( x ) в точке х
Формальное определение
- дифференциал функции f( x ) в точке х при приращении аргумента х
.
d f(x) – функция от х и ∆ х.
Геометрический смысл d f(x)
Рисунок 4.
- приращение касательной в точке х при приращении
∆ х = dx.
Из чертежа ∆ f(x) = LN = LP + PN = d f(x) + r (x, ∆ х.).
DN = r (x, ∆ х.)
Доказывается, что при ∆ х → 0 r (x, ∆ х) → 0 быстрее, чем ∆ х.
Поэтому:
Определение.d f(x) = 
dx - главная (по величине) часть приращения ∆ f(x), линейная по ∆ х = dx.
Почему считают ∆ х = dx ?
Рассмотрим функцию f(x ) = x. df(x)= dx, (x)’= 1
Дата добавления: 2015-01-12; просмотров: 16 | Нарушение авторских прав