Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формальное определение

Какие функции имеют производные?

Теорема. Если в точке х существует то функция y = f (x) непрерывна в точке х.

Доказательство. непрерывна в точке х.

Но непрерывная в точке функция может не иметь

Пример. y = f (x) = | x | - непрерывна в т. = 0.

Но

Рисунок 3. Поэтому не

Геометрически – не существует касательной в т. 0.

Как находить?

I. Таблица производных элементарных функций

II. Правила дифференцирования

1.

2. где С = const.

3.

4.

III. Производная сложной функции

Пусть - сложная функция и функции u = φ (x) и y = f (u) дифференцируемы. Тогда

Нестрогое доказательство.

Переходим к пределу при ∆ х → 0. Тогда ∆ u → 0 (т.к. u = φ (x) дифференцируема, то она непрерывна) и

Пример.

Дифференциал d f(x) функции f(x) в точке х

Формальное определение

- дифференциал функции f (x) в точке х при приращении аргумента х

.

d f (x) – функция от х и ∆ х.

Геометрический смысл d f (x)

Рисунок 4.

- приращение касательной в точке х при приращении

∆ х = dx.

Из чертежа ∆ f (x) = LN = LP + PN = d f (x) + r (x, ∆ х.).

DN = r (x, ∆ х.)

Доказывается, что при ∆ х → 0 r (x, ∆ х) → 0 быстрее, чем ∆ х.

Поэтому:

Определение. d f (x) = dx - главная (по величине) часть приращения ∆ f (x), линейная по ∆ х = dx.

Почему считают ∆ х = dx?

Рассмотрим функцию f (x) = x. df(x)= dx, (x)’ = 1