Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Принцип стискаючих відображень. Наведемо в загальному вигляді один з основних способів наближеного рішення розглянутого в 11.1 рівняння (11.1): Як відомо з 2.1

Наведемо в загальному вигляді один з основних способів наближеного рішення розглянутого в 11.1 рівняння (11.1): Як відомо з 2.1, наближене рішення рівнянь виконується в два етапи: відділення рішень і пошук їх наближень з потрібною мірою точності. Перший етап обов'язковий в тому випадку, коли крім шуканого рішення є й інші.

Для відділення рішень системи з нелінійних рівнянь з невідомими (див. 12.2) використовуємо множини :

(11.5)

де Для рівнянь з одним невідомим множиною виду (11.5) є відрізок . Зрозуміло, що множина береться з області визначення відображення .

Угода 11.1. Далі під метричним простором будемо розуміти або один з просторів або деякий їх метричний підпростір виду (11.5).

Тепер сформулюємо принцип стискаючих відображень.

Теорема 11.1 (Банаха). Нехай відображення є стискаючим на повному метричному просторі з коефіцієнтом стискання . Тоді:

1) на існує одне і тільки одне рішення рівняння (11.1) (єдина нерухома точка відображення );

2) рішення дорівнює границі ітераційної послідовності точок з , яка визначається рекурентною формулою

(11.6)

де – довільний елемент з

3) при кожному справедлива нерівність

(11.7)

У прикладі 11.3 показано, що на відрізку функція задовольняє умовам теореми Банаха. Отже, на цьому відрізку є один і лише один корінь рівняння (проілюструйте це графічно), який можна знайти як межу послідовності з довільним з цього відрізка.

Якщо простір з теореми 11.1 є тільки частиною області визначення відображення , не можна стверджувати, що рівняння (11.1) має всього одне рішення. Крім рішення можуть бути і інші рішення в множині .

У доказі нерівності (11.7) показник степеня з’являється після кроків, потрібних для обчислення . Якщо попереднє для наближення вважати початковим, з (11.7) вийде ще одна нерівність:

(11.8)

Отже, в умовах теореми Банаха маємо наступне. По-перше, рівняння (11.1) обов'язково має рішення , причому єдине на цій множині. По-друге, формула (11.6) визначає послідовність наближень до рішення , при цьому за початкове наближення можна взяти будь-який елемент з . По-третє, якщо рішення замінити наближеним значенням , то абсолютну похибку наближення можна обчислити за однією з наступних формул:

(11.9)

З останніх співвідношень випливає, що для обчислення наближеного рішення з точністю до необхідно добитися виконання хоча б однієї з нерівностей

(11.10)

За нерівності (11.7) видно, що від величини коефіцієнта стиснення залежить швидкість збіжності ітераційної послідовності. Чим менше , тим швидше можна досягти бажаної точності наближеного рішення.

Враховуючи все сказане, робимо висновок, що теорема Банаха фактично дає метод уточнення наближеного рішення рівняння (11.1), який називається методом ітерації, або методом простої ітерації.

Зробимо кілька важливих зауважень, які характеризують метод ітерації і умови його застосування.

Як і будь-який інший метод наближеного розв'язання рівнянь, метод ітерації не універсальний. Він застосовується лише до рівнянь виду (11.1) і гарантує успіх у випадку, коли є відображенням стискання на повному метричному просторі . У той же час він широко використовується для вирішення не тільки розглянутих нами рівнянь і систем рівнянь, а й різних класів диференціальних та інтегральних рівнянь і т.п. Привабливість його пояснюється тим, що він породжує процес однотипних обчислень і нечутливий до невеликих помилок. Якщо, наприклад, при відшуканні -го наближення була допущена помилка і замість отримали однак при цьому залишився в множині , то ітераційний процес можна продовжувати, він все одно наблизить нас до точного рішення .

У конкретних задачах перед застосуванням методу ітерації зазвичай вже відомо, що рішення рівняння (11.1) на множині існує і воно там єдине. Тоді головним сенсом, накладених теоремою 11.1, вимог на відображення (відображати в себе і задовольняти на умові Ліпшиця) стає забезпечення збіжності ітераційної послідовності до рішення.

Завдяки властивості бути відображенням простору в себе, наближення ні на якому кроці не виходять за межі, де виконується умова Ліпшиця. Однак у випадку, коли умова Ліпшиця вірна в деякому ширшому підпросторі основного простору, порушення цієї властивості не завжди призводить до розбіжного ітераційного процесу. Якщо якісь виходять за межі , залишаючись при цьому в , то наступні члени послідовності можуть знову опинитися в і продовжувати наближуватися до . Тут багато що залежить від вибору початкового наближення (впр. 11.16).

Коли відображення не задовольняє умові Ліпшиця, можливі різні ситуації щодо існування рішення і збіжності ітераційного процесу. Якщо образи будь-яких двох точок з опиняються на відстані, не меншій, ніж самі точки, тобто

для будь-яких (11.11)

то ітераційна послідовність заздалегідь не сходиться до (впр. 11.10). При заміні нерівності (11.2) на більш слабку

для усіх (11.12)

твердження теореми Банаха теж можуть виявитися неправильними. Так, властивість бути відображенням в себе і нерівність (11.12) в сукупності не гарантують існування рішення на (впр. 11.11).

Таким чином, якщо відображає в себе і на вірна нерівність (11.2), то ітераційний процес сходиться; якщо ж має місце нерівність (11.11), то процес розходиться незалежно від того, відображається в себе, чи ні. Цікаве наступне питання: як веде себе ітераційна послідовність у проміжних випадках [зокрема, коли замість нерівності (11.2) виконується (11.12)]? Відповідь неоднозначна (виконайте впр. 11.12 і 11.13).

Вправи

11.9.

1. Покажіть, що функція задовольняє умовам теореми Банаха на будь-якому відрізку , і з’ясуйте сенс тверджень цієї теореми в даному випадку.

2. Виберіть конкретний відрізок , візьміть і знайдіть число , а потім обчисліть за допомогою формул (11.9).

11.10. Нехай рішення х * рівняння (11.1) знаходиться в метричному просторі і виконується нерівність (11.11). Доведіть, що в цьому випадку при початковому наближенні , ітераційний послідовність (11.6) не сходиться к .

11.11. Покажіть, що для відображаючої у себе функції вірна нерівність (11.12), між тим нерухомих точок у цього відображення немає.

11.12. Як зазначено після формулювання теореми 11.1, функція з прикладу 11.3 має нерухому точку в відрізку . Переконайтеся, що:

1) відображає в себе , замість (11.2) на має місце нерівність (11.12), але ітераційна послідовність збігається до при будь-якому початковому наближенні з цього відрізка;

2) не відображає у себе , на цьому відрізку не виконується жодна з нерівностей (11.2), (11.11), (11.12), однак ітераційна послідовність знову сходиться до при будь-якому

11.13. Задане на відображення таке, що

має одну нерухому точку . Покажіть, що не відображає у себе , на цьому відрізку не виконується жодна з нерівностей (11.2), (11.11), (11.12), і при цьому (на відміну від ситуації, яка має місце в завданні 2 впр. 11.12 ситуації) збіжність ітераційного процесу залежить від вибору початкового наближення .

Вказівка. Для виявлення факту збіжності або розбіжності ітераційної послідовності в впр. 11.12 і 11.13 використовуйте відповідні методу простої ітерації геометричні побудови (див. 2.8).