Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоретическое введение. Совокупность двух или нескольких маятников, каким-либо образом связанных между собой, представляет связанную систему.

Совокупность двух или нескольких маятников, каким-либо образом связанных между собой, представляет связанную систему.

Рассмотрим в качестве примера систему, изображенную на рис.1 Два маятника массами m₁ и m₂ соответственно, и невесомыми стержнями с длинами L₁ и L₂ связаны пружиной, жесткостью 2с. Для простоты рассуждений примем m₁=m₂=m

OB₁=L₁=L₂=O’B=L

O’A₂=OA₁=a

Проведем оси ОХ, ОУ, как указано на рис.1 в). Ось ОZ направлена перпендикулярно к плоскости рисунка.

На маятник действует сила тяжести груза F₁=m₁g, сила упругости и силы реакций стержня N.

Пусть в момент времени t=0, маятники отклонились от положения равновесия на углы φ₁ и φ₂ соответственно. Тогда сила упругости (согласно закону Гука) равна (рис.1б):

F_упр = 2с(х’-х_с) = -2са(sin φ₁-sin φ₂) (1)

(здесь учтено, что жесткость пружин к=2с).

Запишем выражения для моментов сил упругости М_z (Fупр) сил тяжести М (F₁), сил реакции стержня М_z (N) относительно оси ОZ:

М_z (F_упр) = F_упраcos φ₁ (2)

М_z (F₁) = mgLsin φ₁ (3)

M (N) = 0 (4)

Момент импульса груза относительно оси ОZ равен:

к₂ = mVL = mL²dψ/dt; т.к. V=Lw (5)

w=dψ/dt

В случае, когда амплитуда колебаний мала, можно считать:

sin φ= φ, сos φ=1 (6)

Теорема об изменении импульса для рассмотренной системы будет иметь вид:

dk_z/dt=M_z(F_упр)+М_z(F₁) (7)

Подставляя в (7) уравнения (1-5) и учитывая (6), получим уравнение движения для первого маятника:

d² φ₁/dt²+(g/L+2са²/mL²) φ₁-2са² φ₂/mL² (8)

Аналогично можно получить и для второго маятника:

d² φ₁/dt²+(g/L+2са²/mL²) φ₂-2са² φ₁/mL²

Система уравнений (8), (9) описывает колебания маятников. Для решения этой системы проделаем следующие преобразования:

1) Сложим уравнения (8) и (9)

Ф₁+ω₁²Ф₁=0 (10)

где Ф₁= φ₁+ φ₂ (11)

ω₁²=g/L (12)

2) Вычтем из уравнения (8)-(9)

Ф₂+ ω₂²Ф₂=0 (13)

где Ф₂= φ₁- φ₂ (14)

w²₂=g/L+4са²/mL² (15)

Решения полученных уравнений (10) и (13) будем искать в виде:

Ф₁=А₁cos (ω₁t+ L₁) (16)

Ф₂=A₂cos (ω₂t+L₂) (17)

где L₁ и L₂ и амплитуды А₁ и А₂ определяются из начальных условий.

Из формул (11) и (14) следует:

φ₁ = (Ф₁+Ф₂)/2 (18)

φ₂ = (Ф₁-Ф₂)/2 (19)

Используя начальные условия для t=0:

φ₁= (21 а)

φ₂= (21 б)

Отсюда видно, что движение каждого груза представляет суперпозицию двух колебаний с частотами w₁ и w₂, которые называются нормальными частотами.

Проанализируем подробнее некоторые частные случаи. Отклоним первый маятник на угол φ₁₀, а второй задержим на месте, т.е. φ₂₀=20. Тогда, применяя известные тригонометрические функции, получим:

(22 а)

(22 б)

Сила упругости пружины будет действовать на второй маятник, и он постепенно начнет раскачиваться. Энергия, сообщенная первому маятнику, будет передаваться отчасти второму, и амплитуда колебаний первого маятника будет постепенно убывать, в то время, как амплитуда второго маятника возрастать. Такой процесс будет продолжаться до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй, если пренебречь трением, не будет качаться с такой же амплитудой, как и первый в самом начале. Затем маятники меняются ролями: второй раскачивает первый. Маятники будут совершать то нарастающие, то убывающие колебания и через время V будут обмениваться энергией. Механическая энергия будет все время переходить от одного маятника к другому. Такие колебания называются биениями, а время V – периодом биений.

Картина колебаний представлена на рис. 2а.

Как бы мы не возбуждали колебания маятников, период биений будет одним и тем же. В зависимости от способа возбуждений меняется только разница между максимумом и минимумом амплитуды колебаний маятников.

τ τ

a) б)

Рис.2

Из (22 а) и (22 б) находим, что период биений равен:

τ = 2П/(ω₂- ω₁) (23a)

Следовательно, частота биений равна разности нормальных частот:

ω _биений = ω₂- ω₁

Величина изменений амплитуды при биениях зависит от способа возбуждений колебаний. Очевидно, можно попытаться найти такой способ возбуждения, после которого биения очень слабы и колебания близки к гармоническим (задаются одной частотой).

Действительно, пусть φ₁₀= φ₂₀, т.е. оба маятника отклонены на одинаковый угол в одну сторону. При этом оба маятника будут колебаться синфазно с частотой ω₁= ω₀, т.е. с частотой, с которой колебались бы оба маятника при отсутствии связи.

Если же φ₁₀= -φ₂₀, т.е. оба маятника отклонены на одинаковый угол в разные стороны, то возникают противофазные колебания с частотой ω₂. Из (12) и (15) видно, что частоты ω₁ и ω₂ зависят от физических параметров маятников: длины, массы, жесткости пружин и места их прикрепления к маятнику, но не зависят от начальных условий, после которых возникают колебания. Поэтому частоты ω₁ и ω₂ называют еще собственными частотами системы двух маятников.

В общем случае произвольных параметров маятников частоты ω₁ и ω₂ равны:

ω²₁= (25)

ω²₂= (26)

где m₁, m₂ – массы соответственно 1-го и 2-го маятников, L₁, L₂ – длины маятников.

2с=с₁+с₂ – эквивалентная жесткость 2-х пружин, соединенных параллельно, а – расстояние от точки подвеса маятников до места крепления пружин.

Возбуждая колебания связанных маятников внешней силой синусоидального характера, действующей на один из них, оба маятника будут совершать колебания с частотой внешней силы. Когда одна из их собственных частот связанных маятников станет равной частоте силы возбуждающего колебания будет т.н. «двугорбый» резонанс, график которого представлен на рис.3.

А(амплитуда)

w₁ w₂ W

рис.3

Рассмотрим колебания маятников разной длины под действием гармонической силы F частоты p, приложенной к длинному маятнику 1 (рис.5)

A

1 2

F

w1 w2 w

рис.4 рис.5

Зависимость амплитуды колебаний одного из маятников от частоты показано на рис.5. При резонансе, когда Р= ω (или ω) вынужденные колебания в системе похожи на нормальные колебания. При первом резонансе (р= ω₁) фазы обоих маятников равны, а угол отклонения длинного маятника больше, чем короткого. Длинный маятник «таскает» за собой короткий маятник, собственная частота которого выше.

При втором резонансе (р= ω₂) короткий маятник «толкает» длинный, который колеблется с более высокой частотой, чем его собственная частота. В этом случае сила пружины и смещение длинного маятника будут в противофазе.