Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теоретическое введение. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

Читайте также:
  1. I Введение
  2. I. ВВЕДЕНИЕ
  3. I. ВВЕДЕНИЕ
  4. I. ВВЕДЕНИЕ
  5. I. ВВЕДЕНИЕ
  6. I. ВВЕДЕНИЕ
  7. I. Введение
  8. I. ВВЕДЕНИЕ
  9. I. Введение
  10. I. Введение

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение ее массы на квадрат расстояния до оси вращения:

I = mr2

Если тело не является материальной точкой, то моментом инерции тела будет сумма моментов инерций всех материальных точек, из которых состоит тело:

Момент инерции – мера инертности тела при его вращательном движении (аналогично массе тела – меры инертности тела при поступательном движении).

В системе единиц СИ момент инерции измеряется в кг×м2, зависит от массы тела, его формы, распределения плотности в объеме тела, а также от того, относительно какой оси вращения вычисляется момент инерции.

В работе проверяется соотношение

I(n) = Ixcos2a + Iycos2b + Izcos2j (1)

для однородных симметричных твердых тел (куб, прямоугольный параллелепипед). Главные оси таких тел являются осями симметрии. Они перпендикулярны граням и проходят через геометрический центр тела (рис. 1).

Z z n

j

 

c a b y

y O

 

a x

x

 

 

Рис. 1. Рис. 2.

Для измерения моментов инерции твердого тела относительно оси, определяемой единичным вектором n

n = {cosa, cosb, cosj}

n2 = cos2a + cos2b + cos2j = 1 (2)

где a, b и j - углы между направлениями вектора n и осями координат ОХ, ОУ и ОZ (рис. 2), применяется метод крутильных колебаний.

Исследуемое твердое тело жестко закрепляется в рамке крутильного маятника, подвешенной на упругой вертикально натянутой проволоке. Если вывести маятник из положения равновесия, то он будет совершать крутильные колебания. Период этих колебаний равен

(3)

где Iм – момент инерции маятника относительно выбранной оси вращения, D – постоянная момента упругих сил, возникающих в закрученной проволоке.

Момент инерции маятника равен сумме момента инерции Io рамки и момента инерции I исследуемого тела: Iм = Io + I. Поэтому период колебаний маятника

(4)

Если колеблется свободная рамка без тела, то ее период колебаний, очевидно, равен

(5)

 

Из этих уравнений можно исключить неизвестную величину D. В результате находим:

I = Io(T2 – To2) / To2 (6)

Соотношение (6) позволяет выразить момент инерции I тела относительно оси маятника через момент инерции Io свободной рамки. Для этого нужно измерить периоды колебаний То и Т соответственно для свободной рамки и для рамки с телом. Период колебаний Т, так же как и момент инерции тела I, зависит от ориентации тела по отношению к оси маятника. Запишем (6) в виде

I(n) = Io(T2(n) – To2) / To2 (7)

где n – единичный вектор, направленный вдоль оси маятника. В лабораторной установке ось маятника (она же ось вращения тела) направлена по вертикали. Поэтому во всех опытах следует считать, что единичный вектор n направлен вертикально вверх. Момент инерции тела относительно вертикальной оси, т.е. I(n), изменяют, поворачивая тело и закрепляя его в различных положениях по отношению к этой оси (рис. 3).

Направив оси ОХ, ОУ и ОZ n

вдоль главных осей тела, мы

выбрали систему координат Y

ОХУZ, жестко связанную с Z

телом. Поворачивая тело, мы

изменяем направления вектора

n в жестко связанной с телом O

системе координат ОХУZ.

Закрепим тело в рамке

так, чтобы ось вращения n сов-

падала с какой-либо его главной X

осью ОХ, ОУ или ОZ. Тогда из

(7) получим: Рис. 3.

Ix = Io(Tx2 – To2) / To2, Iy = Io(Ty2 – To2) / To2, Iz = Io(Tz2 – To2) / To2 (8)

где Tx, Tу и Tz – соответственно, периоды колебаний маятника, когда ось его вращения n совпадает с одной из главных осей ОХ, ОУ или ОZ.

Подставив (7) и (8) в исходное соотношение (1), получим:

T 2(n) = Tx2cos2a + Ty2cos2b + Tz2cos2j (9)

Таким образом, существует простая связь между периодами крутильных колебаний тела Tx, Tу и Tz относительно его осей симметрии ОХ, ОУ и ОZ и периодом колебаний этого же тела относительно оси n с направляющими косинусами (cosa, cosb, cosj).

Выражение (9), так же как и формула (3) для периода крутильных колебаний, справедливо, если затухание мало. Практически достаточно, чтобы число колебаний N, за которое амплитуда уменьшается в 2 – 3 раза, удовлетворяло неравенству N ³ 10 (подробнее см. описание работы № 6). Если это неравенство выполняется, то проверка соотношения (1) сводится к проверке равенства (9). Оно удобно тем, что все входящие в него величины в условиях опыта могут быть измерены непосредственно.




Дата добавления: 2014-11-24; просмотров: 100 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2025 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав