Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Последовательное соединение элементов r, L, c .

Пусть в цепи протекает ток (рис.24): i=Imsinwt, напряжение в цепи также синусоидально:

U=Umsin(wt+j) Поставим в соответствие синусоидальным функциям комплексные функции изображения: Umsin(wt+j) ¸ Um e(j(wt+j)) = Um e(jj) e(jwt) = Um e(jwt) i=Imsinwt¸Im e(jwt)= Im e(jwt) (Im=Im e(j0)=Im) (в данном случае комплексная амплитуда совпадает с амплитудой обычной) По 2-му закону Кирхгофа имеем: U=ur+uL+uc=ri+L(di/dt)+1/czidt (3)

Подставим комплексный функции – изображения напряжения и тока в (3): Ume(jj)=rIme(jwt)+L(d/dt)(Ime(jwt))+1/cz Ime(jwt)dt Все выполняемые нами операции линейны. Выполним операции дифференцирования и интегрирования.

Um e(jwt)=rIme(jwt)+jwLIme(jwt)+1/(jwc)Ime(jwt) После сокращения на e(jwt) приходим к алгебраическому выражению: Um =[r+jwL+1/(jwc)]Im=ZIm (4) В данном методе интегро – дифференциальное уравнение удалось свести к алгебраическому. Уравнение (4) выражает закон Ома в комплексной форме. Поделим правую и левую части (4) на Ö2, получим закон Ома для комплексных действующих значений: U=ZI Величина Z= r+j(wL+1/(wc))=r+j(xL-xc)=r+jx

Называется комплексным сопротивлением цепи. Функцию оригинал, т.е. синусоидальное напряжение находим с помощью представление (2): U(t)=Im[Ume(jwt)] Представим комплексное сопротивление Z=r+jx в показательной и тригонометрической формах:

Z=Ör2+x2 * e(jwt), где j=arctg(x/r), т.о. модуль Z: çZê=Ör2+x2 = Z - полное сопротивление цепи.

Величина j равна фазовому сдвигу между напряжением и током.

Изобразим векторную диаграмму, соответствующую уравнению (4) (рис.25)

Um=rIm + jwLIm – jIm/(wc) При построении диаграммы будем иметь в виду, что умножение комплексного числа на j соответствует повороту вектора, соответствующего данному комплексному числу в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки. А умножение на j соответствует повороту вектора в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке.

Проанализируем комплексное сопротивление Z представив его в тригонометрической форме

Z=Ör2+x2 e(jj)=Ze(jj) Z=z(cosj+jsinj) Изобразим комплексное сопротивление в виде вектора на комплексной плоскости. (рис.26) Из сопротивлений видно: r=zcosj x=zsinj

Пример: Рассмотрим последовательную r, L, c цепь. (рис.27) в которой: u=10sin(100t+p/4)

r=1 Ом L=0,02 Гн с=0,01 Ф i(t)-? uL(t)-?

1. Поставим в соответствие синусоидальному напряжению изображающую комплексную

функцию и найдем комплексную амплитуду.: u=10sin(100t+p/4) ¸ 10 e(j(100t+p/4))

Комплексная амплитуда напряжения будет равна: Um=10 e(jp/4)

2. Определим комплексное сопротивление цепи Z: Z=r+j(wL-1/(wc))=1+j=Ö2e(jp/4)

3. Используя закон Ома в комплексной форме найдем комплексную амплитуду тока:

Im=Um/Z=10e(jp/4)/(Ö2 e(jp/4))=5Ö2

5. Определим синусоидальную функцию оригинала: i(t)=Im[Im e(jwt) ]=Im[10/Ö2 e(j100t) ] = Im[10/Ö2cos100t+j10/Ö2sin100t]=10/Ö2sin100t

6. Определим комплексную амплитуду напряжения на индуктивности: (uL)m=jwLim=j*2*10/Ö2=10Ö2j=10Ö2 e(jp/2)

7. Определим синусоидальную функцию напряжения на индуктивности: uL(t)=Im[(uL)m e(jwt)]=Im[10Ö2 e(100j+p/2)]=10Ö2sin(100t+p/2)

Закон Ома в комплексной форме для параллельного соединения элементов.(рис.28)

Ток цепи также является синусоидальной функцией вида: i=Imsinwt

Методика та же, что и при последовательном соединении элементов:

1. поставим в соответствие синусоидальным функциям комплексные функции элементовr, L, c: U=Umsinwt¸Um e(jwt)= Um e(jwt) (в данном случае комплексная амплитуда равна амплитуде) i=Imsin(wt-j)¸Im e(j(wt-j))= Im e(jwt) (Im=Im e(-jj))

2. По 1-му закону Кирхгофа имеем: i=ir+iL=ic Выразим токи через напряжения: i=ir+iL=ic=u/r+1/Lzudt+c(du/dt) (1) Подставим в уравнение (1) вместо i: u/r

Im=[1/r-j(1/(wL)-wc)]Um=Yum (2) где Y – комплексная проводимость

Для комплексных действующих значений получим: I=YU Y= 1/r-j(1/(wL)-wc)=g-j(bL-bc)= g- jb