Читайте также:
|
15.1. Функция Грина для уравнения Гельмгольца. Начнём с записи уравнения Даламбера в виде
(15.1)
В простейшем и в то же время весьма важном случае функция 
, которая выражает «вынуждающую силу», имеет характер гармонических колебаний: 
. Такой же вид имеет при этом и решение: 
Используя метод комплексных амплитуд, т. е. внося в (15.1) 
и 
получаем неоднородное уравнение Гельмгольца относительно 
:
, (15.2)
где 
. Подобная операция уже обсуждалась в п. 12.2. В электродинамике встречаются уравнения Гельмгольца с комплексным k; подчеркивая это введением символа 
и ограничиваясь пока скалярной формой, запишем:
(15.2а)
Решение неоднородного уравнения Гельмгольца будем искать тем же методом, который был применен в п. 9 к уравнению Пуассона (9.1). При этом понадобится функция Грина, т. е. в данном случае решение уравнения
(15.3)
Интересующая нас функция Грина имеет вид:
(15.4)
Прежде чем двигаться дальше, проверим, что формула (15.4), действительно, выражает решение уравнения (15.3). Для этого достаточно убедиться, что 
является дельта-функцией, согласно её определению.
Непосредственное дифференцирование показывает, что
(15.5)
Далее, возьмём объем V, содержащий начало координат, и выделим сферу Δ V с центром в нём (т. е. при r = 0), имеющую радиус ρ. Ввиду (15.5)
причём в силу теоремы Остроградского-Гаусса
где Δ S - поверхность сферы Δ V (r = ρ на Δ S). При ρ → 0 второе слагаемое исчезает ( Δ V = 0(ρ 3)), а первое даёт:
Таким образом,
(15.6)
Исследуемая функция, как видно, является дельта-функцией δ (r), а при замене r → | 
| становится дельта-функцией δ (
). Поэтому формула (15.4) подтверждена. Здесь же отметим, что, как и в п. 9.1,
, (15.7)
т. е. функция Грина симметрична относительно обоих аргументов.
15.2. Выражение решения неоднородного уравнения Гельмгольца.
Будем искать общий вид решения неоднородного уравнения Гельмгольца (15.2). С этой целью выполним в (16.2) умножение на 
, а в (15.3) - на ит 
; произведём вычитание левых и правых частей и интегрирование полученных выражений как функций r по V.
В результате получим:
Выполним, далее, следующие преобразования (ср. п 9.2):
а) объёмный интеграл слева заменим поверхностным при помощи теоремы Грина (5.14);
б) во втором слагаемом справа произведем интегрирование по формуле (8.7), что даёт 
;
в) произведём замену обозначений 
. Ввиду (15.7) это не распространяется на функцию Грина.
В итоге находим общий вид решения уравнения (15.2) в следующей форме:
(15.8)
(обозначения здесь те же, что и в п. 9.2; заметим, что равенства (15.8) и (9.6) идентичны по форме).
Внося в (15.8) выражение функции Грина (15.4), получаем:
(15.9)
Собственно говоря, как видно из (15.8) и (15.9), для нахождения решения 
в некоторой области V надо располагать сведениями о его поведении на внешней границе S: в поверхностный интеграл входят функции 
и 
Для дальнейшего наиболее интересен случай, когда решение уравнения 
ищется во всем безграничном пространстве, в то время как вынуждающая сила 
отлична от нуля только в некоторой ограниченной области. Граница S области V при этом относится в бесконечность. Пусть рассматриваемые решения обладают таким свойством, что поверхностный интеграл в (15.9) исчезает (необходимые уточнения будут сделаны в п. 4). Тогда решение 
выражается следующей весьма важной формулой:
. (15.10)
Интегрирование здесь фактически распространяется только на область, в которой 
.
Разумеется, все полученные результаты сохраняют формальный смысл и при комплексном k; заменив k на 
сразу же из (15.10) получаем решение уравнения (15.2а). Наконец, взяв векторное уравнение Гельмгольца
(15.11)
и рассматривая отдельно его проекции на оси декартовой системы координат (как это делалось в п.9.4 с векторным уравнением Пуассона), находим при помощи (15.10) его решение в виде:
. (15.12)
15.3. Выражение решения уравнения Даламбера. Перейдём к уравнению Даламбера (15.1). При произвольной зависимости от времени решение 
и вынуждающую силу 
можно представить в виде интегралов Фурье (12.25):
(15.13)
Умножим все члены уравнения (15.1) на 
и проинтегрируем по t в пределах от -∞ до ∞.
Ввиду (12.26),
(15.14)
и
(15.15)
Что касается второго члена (15.1), содержащего дифференцирование по t, то соответствующий интеграл придется преобразовать путём двукратного интегрирования по частям:
Полагая, что при t = ± ∞ решение и его производная по времени равны нулю и обозначая по-прежнему k = ω/υ, находим:
(15.16)
И, наконец, сопоставляя (15.14) - (15.16), на основании (15.1) получаем относительно спектральной плотности 
следующее неоднородное уравнение Гельмгольца:
, (15.17)
по форме совпадающее с (15.2).
Решение уравнения (15.17), таким образом, можно сразу же написать на основании формулы (15.10):
, (15.18)
Чтобы построить решение уравнения Даламбера (15.1), составим первый из интегралов Фурье (15.13).
Умножая левую и правую части (15.18) на еjωt и интегрируя по ω от -∞ до ∞, имеем:
Учитывая, что
пишем:
Действительно, это прямое следствие второй формулы (15.13), где t заменено на 
. Итак, окончательно:
. (15.19)
Решение уравнения Даламбера получено. Попробуем истолковать его и привлечём для этой цели решение (9.8) уравнения Пуассона (9.1); а также однородное волновое уравнение (7.11), различные решения которого рассматривались в п. 13. Там было показано, что υ имеет смысл фазовой скорости распространяющейся волны. Предположим, что υ ® ∞.
Мгновенное распространение фактически, означает исчезновение волнового процесса, и действительно, уравнение Даламбера (15.1) при этом переходит в уравнение Пуассона (9.1), а решение (15.19) - в (9.8).
Решение (15.19) выражает волновой процесс, возбуждаемый в пространстве источниками, расположенными в той области, где f ® 0. Действие источника в точке Р(r') не передаётся в точку наблюдения М(r) мгновенно, оно запаздывает на время необходимое для распространения волнового процесса; это и отражает полученное решение (15.19).
Результат (15.19) позволяет записать также решение векторного уравнения Даламбера:
, (15.20)
поскольку при проецировании на оси декартовой системы координат оно сводится к трём скалярным (ср. п. 9.4):
(15.21)
Лекция 14. Решение однородного уравнения Гельмгольца методом разделения переменных
17.1. Декартовы координаты. Однородное уравнение Гельмгольца будет встречаться в дальнейшем при постановке разных граничных задач. Случай декартовых координат является простейшим, и поэтому именно с него начинается изложение. Уравнение Гельмгольца
(17.1)
при использовании декартовой системы координат (х, у, z) принимает вид:
(17.2)
Рассмотрим получение его решений методом разделения переменных (п.11.1).
Ожидаемое решение и = и (х, у, z) представляется в виде произведения
и(х, у, z) = X(x)Y(y)Z(z), (17.3)
где Х (х), Y (y) и Z (z) - функции координат х, у, и z соответственно. Подставим представление (17.3) в уравнение (17.2) и разделим все члены на u = XYZ. Это дает:
. (17.4)
Как видно, первые три члена - функции разных аргументов, а третий постоянен. Это дает основание (§11 п. 1) положить каждую из указанных функций константе; назвав введённые константы 
,получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения:
, причём 
(17.5)
Это уже много раз встречавшиеся уравнения типа (7.7) с решениями (7.8). Таким образом, сразу можно выразить решение (17.3) уравнения (17.2):
(17.6)
Данная символическая запись означает, что каждый из сомножителей решения (X, Y и Z) можно брать как в форме верхней строчки, так и в форме нижней. Очевидно, что записанная функция (17.6) выражает решение уравнения (17.2) при любых постоянных коэффициентах А, В,..., Т, W и любых «постоянных разделения» 
, подчинённых равенству в нижней строке.
В случае двумерного уравнения Гельмгольца
(17.7)
записываемого в декартовых координатах как
(17.8)
имеем:
(17.9)
17.2. Цилиндрические координаты.В цилиндрической системе координат (r, φ, z) согласно (6.17) уравнение (17.1) примет вид:
(17.10)
Полагая
и (r, φ, z) = U (r) W (φ) Z (z), (17.11)
где U (r), W (φ) и Z (z) - функции координат r, φ и z соответственно. В результате подстановки (17.11) в (17.10) и деления на и = UWZ получаем:
(17.12)
Третий член есть функция только координаты z и, таким образом, независим от предыдущих. Это дает основание (§ 11 п. 1) положить его равным некоторой постоянной; последнюю обозначим - χ 2z. Оставшиеся слева члены в сумме также равны постоянной величине, а именно 
. Поэтому имеем следующие уравнения:
(17.13)
эквивалентные вместе первоначальному уравнению (17.12).
Далее произведём операцию разделения переменных в первом из уравнений (17.13), которое после умножения всех членов на r2 принимает форму:
.
Второй член (функция φ) не зависит от первого и третьего (функций r). Поскольку сумма всех членов - нуль, введём, как делалось в п. 11, постоянные п2 и - п2, которые в сумме равны нулю, и получим:
(17.14)
Легко убедиться, что в первой строчке (17.14) мы имеем не что иное, как уравнение Бесселя относительно U как функции аргумента χr. Действительно, после дифференцирования по r и умножения всех слагаемых на U /χ2 имеем: 
(17.15)
Оно совпадает с уравнением (16.1) при замене х на χr.
Итак, объединяя результаты (17.13) и (17.14) с учётом (17.15), получаем совокупность следующих обыкновенных дифференциальных уравнений, эквивалентную уравнению Гельмгольца (17.10):
(17.16)
Общие решения их известны, причём каждое можно записать в двух формах: с использованием функций Бесселя и Неймана или Ханкеля для первого уравнения согласно (16.6 а, б) и с использованием функций тригонометрических или экспоненциальных - для двух последних уравнений. Таким образом, находим следующее выражение и = UWZ:
u(r, φ,z) =
17.17
Форма записи имеет тот же смысл, что и в (17.6); аналогично также значение входящих в выражение постоянных.
Обычно область, в которой ищется решение, не ограничена по углу φ. В этом случае М(r, φ, z) и М(r, φ + 2π, z) - это одна и та же точка наблюдения, а следовательно, u (r, φ, z) и и (r, φ + 2π, z) выражают решение в одной и той же точке, т. е. должно быть:
, (17.18)
что возможно только при целом п (или равном нулю): п = 0, ±1, ±2,....
При отсутствии зависимости по z уравнение Гельмгольца (17.1) записывается в форме (17.7), т. е. в цилиндрических координатах:
. (17.19)
Его решение имеет вид:
(17.20)
Выбор того или иного варианта решения определяется граничными условиями конкретной электродинамической задачи.
Дата добавления: 2014-12-18; просмотров: 292 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Лекция 13. Интегрирование неоднородного уравнения Гельмгольца и уравнения Даламбера | | | Лекция 15. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца. Собственные функции и собственные значения |