Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Представление непериодического колебания интегралом Фурье. Комплексная спектральная плотность.

Непериодический сигнал f (t), например единичный прямоугольный импульс, (рис.6)

Рис. 6.

можно представить как периодический с периодом Т → ∞. При этом амплитуды гармонических составляющих, согласно (2), будут стремиться к нулю, т.е. станут бесконечно малыми величинами. Кроме того, расстояние между спектральными составляющими, которое определяется основной частотой ω ₁=2π/ Т также становится бесконечно малой величиной и спектр из дискретного преобразуется в сплошной.

Таким образом, непериодическое колебание можно рассматривать как сумму бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических колебаний, частоты которых отличаются на бесконечно малые величины и заполняют весь частотный диапазон. Ряд Фурье преобразуется в известный из математики интеграл Фурье:

(8)

где (9)

Предполагается, что функция f (t) во всяком конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, абсолютно интегрируема в бесконечных пределах и f (t)=0 при t <0. Для нас важно, что (8) представляет из себя интегральную сумму бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами | F (jω)| dω /π, начальными фазами φ (ω) и частотами ω, непрерывно изменяющимися от ω =0 до ω → ∞.

Функция | F (jω)| называется спектральной плотностью амплитуд, т.к. амплитуда составляющих для каждого бесконечно малого диапазона частот от ω до ω + dω пропорциональна значению этой функции. Функция φ (ω) характеризует спектр фаз непериодического сигнала. Комплексную функцию F(jω) называют комплексной спектральной плотностью, а соотношение (9)-односторонним преобразованием Фурье.

Нетрудно увидеть аналогию и связь преобразований Лапласа и Фурье. Сравнивая (9) и преобразований Лапласа, можно сделать заключение, что одностороннее преобразование Фурье F(jω) может быть получено из преобразования Лапласа F(p) при p = jω,т.е.

F(jω)=F(p) | _p=jω (10)

Соотношение (10) может быть использовано для анализа спектрального состава различных сигналов с использованием обширных таблиц преобразований Лапласа.

Пример 1. Определить спектральную плотность амплитуд и спектр фаз экспоненциальной функции f(t) =A _oe^-αt.

Воспользуемся известным преобразованием Лапласа от данной функции и соотношением (10). Тогда комплексная спектральная плотность

.

Откуда спектральная плотность амплитуд | F(jω) |= A _o /(a ²+ ω ²)^1/2 и спектр фаз φ(w)= - arctg(ω/a).

Графики этих функций представлены на рис.7. Спектр экспоненциального сигнала сосредоточен в области нижних частот.

рис.7

Пример 2. Определить спектральную плотность амплитуд и спектр фаз единичной импульсной функции f(t)=δ(t). F(p)= 1.

Следовательно, F(jω)= 1; | F(jω)| =1; φ(ω)=0. Спектр единичного импульса равномерно распределен по всей частотной оси от ω =0 до ω =∞.

Рис. 8.

Пример 3. Определить спектральные характеристики одиночного импульса прямоугольной формы (рис. 6). Для решения воспользуемся соотношением (9) для комплексной спектральной плотности:

Далее для выделения модуля и аргумента с полученным соотношением сделаем следующие преобразования:

При этом

Спектр фаз должен увеличиваться на π рад при частотах, соответствующих прохождению через нуль (смена знака) функции

sin(w t_и /2). Эти частоты находим из условия (w_k t_и /2) = kp. Они равны

w_k = 2 kp / t_и, где k = 1,2,3… На этих частотах спектральная плотность амплитуд обращается в нуль. При ω =0 после раскрытия неопределенности получим | F(jω) |= U_o t_и.

Принимая во внимание вышеизложенное, на рис 9 построены графики спектральных функций видеоимпульса прямоугольной формы.

Основная доля энергии рассматриваемого импульса приходится на область низких частот. Чем короче импульс, тем шире его спектр, т.к. с уменьшением длительности t_и импульса его спектр пропорционально расширяется.

рис.9

Распределение энергии непериодического сигнала по частоте

Пусть непериодическое напряжение u (t) представлено в виде интеграла Фурье:

Определим энергию W, выделяемую в резистивном сопротивлении R =1 Ом, к которому приложено данное напряжение. Тогда получим:

. (11)

В (11) использована известная из математики теорема Рэлея. Из полученного соотношения следует, что функция | U(jω) |² характеризует энергию составляющих сигнала, приходящуюся на полосу частот в 1 рад/с на текущей частоте ω. Называют эту функцию спектральной плотностью энергии сигнала.

Таким образом, по функции | U(jω) |² можно судить об энергетически значимых участках спектра непериодического сигнала. На рис.10 приведен график спектральной плотности энергии видеоимпульса прямоугольной формы, рассчитанный по формуле:

.

Рис.10

Основная часть энергии импульса сосредоточена в области нижних частот. Можно показать, что чуть выше 90% энергии импульса приходится на главный лепесток, т.е. на полосу частот от ω = 0 до ω = 2 π / t_{и .}. Часто в практических приложениях эта полоса частот принимается за ширину спектра импульса. Чем меньше длительность импульса, тем больше ширина его спектра.