Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основные периоды развития математики.

Основные периоды развития математики. Множества. Операции сложения и умножения. Дополнение множества. Теоремы о дополнениях.

Основные периоды развития математики.

1.Период зарождения: 20 в. до нэ – 6в до не. Материальные источники 20в до нэ – Египет - папирусы, Вавилон -глиняные таблички, Индия, Китай. Период зарождения счета, вычисления площадей, простых объемов по шаблону. Наука сакрализована, отвечает на вопрос «как», преподаватели – жрецы. 6в до нэ: Др Греция. Первые математические док-ка. «Почему?». Преподают философы.

2.Математика постоянных величин 6в до нэ - 16в нэ. 6в до нэ - 6в нэ- древнегреческая наука на эллинском языке. 7 в нэ-15в нэ – арабская математика. 16в – Эпоха Возрождения. Аккумуляция предудущих знаний, изобретение комплексных чисел, решение х³=0, х⁴=0; появление формул.

3.Математика переменных величин 17в – 70гг 19в. Изучается движение. (S(t)'=v. Интегральное и дифференциальное исчисление. Декарт – система координат, Ньютон – исследование законов движения, «Математические начала натуральной философии»; Луйбниц – философское рассмотрение математики, введение dx, du

4.Период современной математики: кон 19в- сегодня.

Функциональные структуры созданы группой французских математиков под псевдонимом Бурбаки (1939-1967 – издание математики в 33 томах - «Элементы»). Аксиоматическое построение математики на юазе теории множеств (аналочичная система в «Началах» Евклида). Важнейшие структуры:порядка, алгебраические, топологические.

Множество – фундамент математики (осознано в 19-20в, точное определение отсутствует, тк это первичнный элемент).

Множество обозначается большими буквами А,В,С; элементы -х,у,z. Запись A={1,2,3} читается «Мн-во А состоит из элементов 1,2,3; 1еА, 2еА, 3еА».

Мн-во А=мн-ву В, если они состоят из одних и тех же элементов, порядок которых не важен.

Подмножество мн-ва А – такое мн-во В, что хеВ и хеА. Свойства: Если В – подмножество А, то А+В=А; А*В=В. Пример: А={a,b,c,}; выписать все подмножества. {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c,},{Ø}.

Сумма множеств А и В – мн-во, состоящее из элементов, которые входят в А, или в В, или в и в А и в В; логический смысл суммы мн-в - объединение мн-в;графически показывается затемнением обоих мн-в. Пример A={1,2,3} В={2,4,5,6} A+B={1,2,3,4,5,6}

Свойства сложения: 1) коммуникативность А+В=В=А 2) ассоциаптивность (А+В)+С=А+(В+С) 3) А+А=А.

Произведение мн-в А*В - мн-во, состоящее из тех элементов, которые входят и вА, и в В; логический смысл – пересечение;графически показывается затемнением общий части мн-в. Пример Пример A={1,2,3} В={2,4,5,6} А*В={2}.

Свойства умножения: 1) коммуникативность А*В=В*А 2) ассоциативность (А*В)*С=А*(В*С) 3)А*А=А

Теорема: для операций сложения и умножения справедлив дистрибутивный закон (правило раскрытия скобок) А*(В+С)=АВ+АС.

Док-во: 1) Пусть хеА*(В+С), тогда хеА и хеВ+С по определению произведения мн-в.

Если хеА и хеВ, тогда хеАВ. Если хеАи хеВ, тогда хеАС. Исходя из этого, хеАВ+ВС, чтд. 2) Пусть хеАВ+АС, тогда хеА*(В+С) по определению суммы мн-в. Если хеАВ, то хеА и хеВ. Если хеАС, то хеА и хеС. Исходя из этого хеА (хеВ или хеС), что по определению суммы и произведения мн-в эквивалентно хеА и хе(В+С). Следовательно, хеА(В+С), чтд.

Мн-во U называется универсальным для системы мн-в А,,В,С,Д, если U содержит все мн-ва системы(АеU, ВеU, СеU, ДеU). Свойства U: 1) А+U=U 2) A*U=A.

Дополнением к мн-ву А называется мн-во Ä, которое состоит из тех и только тех элементов, которые лежат в мн-ве U и не лежат в А (хе Ä <=> х¢А)

Свойства дополнения 1) А+ Ä =U 2) А* Ä= Ø 3) Ä=А

Теорема:Дополнение к сумме=прозведению дополнений А+В=А*В

Док-во 1) Пусть хеА+В, тогда х¢(А+В), тогда х¢А и х¢В, тогда хеА и хеВ, что по определению умножения мн-в эквивалент хе А*В, чтд 2) Пусть хеА*В, тогда хеА и хеВ, тогда х¢А и х¢В, тогда х¢(А+В), следовательно хеА+В
Теорема: дополнение к проиведению =сумме дополнений (А*В=А+В)

Док-во: 1) Пусть хеА*В, тогда х¢(А*В), тогда х¢А или х¢В, тогда хеА или хеВ, что по определению суммы мн-в эквивалентно хе(А+В), чтд 2) Пусть хе(А+В), тогда хеА или хеВ, тогда х¢А или х¢В, тогда х¢А*В, следовательно хеА*В, чтд