Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Обратные функции

Пусть А −^f→ В – произвольная данная функция (однозначная или нет). Рассмотрим функцию B −^f-1→ A, закон которой f^-1 задан следующим образом: b −^f-1→ a, е.и.т.е. a −^f→ b. Построенная этим способом функция является обратной к функции А −^f→ В.

Теорема 1: Если данная функция А −^f→ В всюду определена, то обратная функция B −^f-1→ A – функция на все множество А.

Док-во: Пусть а є А, так как А −^f→ В – всюду определена, то существует элемент b є B такой, что a −^f→ b. Тогда по определению обратной функции b −^f-1→ a. Следовательно, в функции B −^f-1→ A произвольный элемент а из второго множества поставлен в соответствие некоторому элементу из первого мн-ва, т. е. B −^f-1→ A – функция на все А.

Теорема 2: Если А −^f→ В – функция на все множество В, то обратная функция B −^f-1→ A всюду определена (аналогично).

Теорема 3: Обратная функция B −^f-1→ A однозначна т. и. т., когда данная функция А −^f→ В – инъективна.

Док-во: 1) пусть данная функция инъективна. Предположим, что B −^f-1→ A не однозначна. Это значит, что существует такой элемент b є B, которому поставлены в соответствие два разных элемента а₁ и а₂ из А, а₁≠ а_2, b −^f-1→ а₁ b −^f-1→ а2, по определению обратной функции отсюда следует, что а1 −^f→ b, а₂ −^f→ b, а₁≠ а_2. Это значит, что функция А −^f→ В не инъективна, что противоречит предположению.

2) Пусть обратная функция B −^f-1→ A однозначна. Предположим, что А −^f→ В не инъективна. Это значит, что некоторый элемент b є B поставлен в соответствие двум разным элементам из множества А, а₁≠ а_2. Тогда по определению обратной функции отсюда следует, что b −^f-1→ а₁ b −^f-1→ а2, а это значит, что функция B −^f-1→ A не однозначна, что противоречит предположению.

Суперпозиция. Результатом суперпозиции двух данных функций А −^f→ В и В −^φ→ С называется функция А −^φ◦f→ С, закон которой задается след. образом а −^φ◦f→с т. и т. т., когда существует такой элемент b є B, что a −^f→ b и b −^φ→ c. Функция А −^φ◦f→ С – композиция.

Операция суперпозиции обладает свойством ассоциативности и не обладает свойством коммутативности.

Взаимнооднозначное соответствие. Функция А −^f→ В осуществляет взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами А и В, если она всюду определена, однозначна, инъективна и является функцией на все В.

Можно установить между равномощными множествами.

Теорема Если функция А −^f→ В и В −^φ→ С устанавливает взаимно однозначное соотношение между А и В, В и С, то их композиция А −^φ◦f→ С устанавливает взаимнооднозначное соответствие между А и С.

Класс элементарных функций.

1)прямая y=кх+b; 2)парабола y=ax²+bx+c; 3)гипербола y=(ax+b)/(cx+d); 1/x 4)многочлен y=a₀xⁿ+a₁х^n-1+аn

5) иррациональные √x,³√x 6)отношение многочленов.y= (a₀xⁿ+a₁х^n-1+аn)/ (b₀x^m+b₁х^m-1+bm)

7)а^х и log_a^x (вошли в математику в 17 веке) 8) тригонометрические функции