Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Неопределенный интеграл и его свойства. Составление таблицы.

Неопределенный интеграл от функции f(x) – семейство ее первообразных. ∫ f(x)dх = F(x) +c, где f(x) – подинтегральная функция. Пример ∫ sinx dx = - cos x +c

Операция нахождения для данной функции первообразной – интегрирование. Дифференцирование – операция нахождения производной – обратна операции интегрирования.

Теорема 1. Производная от неопределенного интеграла = подынтегральной функции. [∫ f(x)dх]' = f(x).

Для доказательства данной теоремы найдем производную от левой части

[∫ f(x)dх]'=[F(x) +c]=F'(x) +C' = f(x), чтд

Следствие: дифференциал от неопределенного интеграла =подынтегральному выражению.

d [∫ f(x)dх] = [∫ f(x)dх]'dx=f(x)dx.

Правило:чобы убедиться в справедливости равенства ∫ f(x)dх = Н(х)+с, где Н(х) – некоторая функция, следует найти производную от ее правой части. Если при этом получится подынтегральная функция f(x) интеграла, стоящего слева, то равенство верно. Н'(х)=f(x)+c--- Н(х)- первообразная для f(x)----H(x)+c – cемейство первообразных функции f(x) – интеграл. Н(х)+с = ∫ f(x)dх

Теорема 2. постоянный множитель выносится за знак интеграла. ∫к f(x)dх= к ∫ f(x)dх

Док-во [∫к f(x)dх]' = к [∫ f(x)dх]'=kf(x), чтд. Пример ∫10 sin x dx= -10 cos x +c

Теорема 3. Интеграл от суммы =сумме интегралов. ∫[ f 1(x) + f 2 (x)] = ∫f 1(x)dх + ∫ f 2 (x)dх.

Док-во: Найдем производную от правой части. [∫f 1(x)dх +∫ f 2(x)dх]'=[∫f 1(x)dх] +[∫ f 2(x)dх] = f 1(x) + f 2 (x).

Т.к в результатете диффиренцирования получена подынтегральная функция, теорема доказана.

Пример: ∫ (2x+5 sin x) dx= x² -5 cos x +c

Физический смысл неопределенного интеграла: s(t) – первообразная функции V(t), если требуется найти путь тела, зная его скорость

Таблица интегралов составляется на основе таблицы производных. Чтобы найти ∫f (x)dх, следует первообразную для f(x), прибавить к ней const c, получив тем самым семейство первообразных.

Докажем ∫ х ^к dх = х ^к+1/ к+1 + c, k ≠-1. Для этого найдем производную правой части [ х ^к+1/ к+1 + c{'=

1/k+1[ х ^к+1] + c' = 1/k+1[ х ^к+1] = 1/k+1 * k+1* х ^к = х ^к, чтд.

19. Методы вычисления неопределённого интеграла. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Метод подстановки Дано: ∫ f(x)dx=F(x)+c. Док-ть: ∫ f(u)du=F(u)+c, где u(х) – любая дифференц. функция

Доказательство: 1) По условию ∫ f(x)dx=F(x)+c => [F(x)+c]'=f(x). [F(x)]'=f(x) – (2)

2. Докажем равенство ∫ f(u)du=F(u)+c. Зная, что du=u'(x)dx (1), получаем ∫ f(u)u'(x)dx=F(u)+c

Найдём производную от правой части, чтобы доказать это равенство.

[F(u)]_х'= F'_x(u) + c'= F'_u(u) u_x'= f(u)*u' -Последний переход - по (2). Получаем фун-цию стоящую под знаком левого интеграла, значит равенство справедливо

∫uⁿdu =(uⁿ⁺¹/(n+1))+c, n≠1 ∫(1/u) du=ln│u│+c ∫(sin u) du=-cosu+c ∫(cos u) du=sinu+c ∫e^u + c=e^e +c

Пример ∫(cos 5х) dх=∫(cos u*(du/5))=1/5∫(cos u) du= 1/5sinu+c=1/5sin5x+c

u=5x, du= u'dx, du= 5dx; dx=du/5. Проверка:m [1/5sin5x+c]'=1/5*5*(cos 5x)=cos5x

Интегрирование по частям Дано: U(x), V(x). du=u'dx, dv=v'dx. Найти ∫u dv. Используя (uv)'=u'v+uv'

1. d(uv)=udv + vdu – дифференцируем 2. ∫d(uv)= ∫u dv+∫v du, uv= ∫u dv+∫v du 3) ∫u dv=uv-∫v du

Пример ∫ lnx dx= x*lnx-∫x*1/x dx=x lnx – x+c= x│ln x – 1│+c (u=ln x du = 1/u dx dx=dv v=x)

Неберущиеся интегралы – интегралы, которые нельзя выразить через элементарные функции

Теорема существования. Если функция f(x) непрерывна, то ∫ f(х)dх существует.

Но не всегда неопределенный интеграл можно выразить через элементарные функции. До 17в интеграл не выражался через элементарные функции. К 18в класс элементарных функций, через которые можно выразить неопределенный интеграл сложился исторически. Так, было открыто, что ∫ 1/х dx= ln|x| +c.

Примеры интегрируемых, но не выражающихся через элементарные, функций ∫e ^{–x^2} dx; ∫ sinx/x dx.

∫ dx/ln x.