Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема1. Поглощающее свойство нуля. При умножении любого элемента кольца на 0 в результате получается нуль.

Доказательство:1) b=b+0, где в – любой элемент 2) a*b=a*(b+0)- домножим обе часит на а

3) a*b=ab+a0=ав – раскроем скобки по дистрибутивности 5) для ав существует обратный элемент (-ab):(-ab)+(ab+а0)=(-ab)+(аb)+а0=0; [(-ab)+(ab)]=[(-ab)+(ab)]+a0,те 0=а0, чтд

Отсюда правило на нуль делить нельзя.

Делители нуля – такие в и в - элементы кольца, что ав=о, но а≠0 и в≠0. Пример: класс вычетов по mod 6.

Свойства коммутативной группы с операцией сложение: 1) -(-а)=а 2) каждое уравнение а+х=в имеет единственное решение в+(-а) 3) если а+в=а+с, значит в=с.

Поле -кольцо, в котором 1) умножение коммутативно 2) умножение ассоциативно 3) нейтральный элемент по умножению е=1 4)для всякого а≠0 существует обратный элемент a^-1 такой, что aa^-1=a^-1a=e. В поле можно определены: сложение, вычитание, умножение, деление, кроме деления на 0

Пример поля – множество рациональных чисел m/n, где m,n – целые числа,n≠0; множество классов вычетов по mod5; поле действительных чисел.

Комплексные числа и алгебраические операции с ними. Тригонометрическая форма комплексного числа. Возведение в степень и извлечение корня.

Комплексным числом называется выражение a+b_i, где a и b- действительные числа, а символ i удовлетворяет условию i²=-1. В поле комплексных чисел нейтральным элементом для сложенмя явл 0: a+0·i=a, 0+b·i=b·i,

0+0·i=0; для умножения 1. Для числа (a+b_i,)≠0 обратным явл 1/a+b_i,

Комплексные числа a+b_i и c+d_i равны, если: a=c и b=d. В поле комплексных чисил нет понятия порядка, поэтому числа вида z₁=a+b_i, z₂=c=d_i несравнимы.

Теорема. В поле комплексных чисел уравнение n-ой степени имеет n корней.

Алгебраические операции с комплексными числами вида z₁=a+b_i, z₂=c=d_i

1.Сложение: z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

2.Вычитание: z₁-z₂=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

3.Умножение: Z₁·z₂=(a+bi) ·(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)i

4.Деление(z₂≠ 0) z₁ ⁄z₂=a+bi ⁄c+di= (a+bi)(c+di) ⁄(c+di)(c+di)=ac+bci-adi-bdi² ⁄c²-d²i²=(ac+bd)+(bc-ad)i ⁄c²+d²

Геометрическая интерпрет. комплексн числа: компл число изобр вектором, идущим из точки (0,0) в точку (a,b). |Z| - длина вектора. ‌z‌=√a²+b². Угол γ м-ду вектором и положительным направлением оx - аргумент числа z. sin γ=b/√a²+b²; cos γ=a/√a²+b².

z=|r|(cos γ +isin γ)- тригонометрическая форма комплексного числа.

Теорема1:При перемножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. z₁·z₂=r₁·r₂(cos(γ₁+ γ₂)+I sin(γ₁+ γ₂)). Длина нового вектора=сумме длин исходных, угол наклона к ох-поворот на суммарное число градусов, отсчитываемое от положительного направления ох.

Формула Муавра:Zⁿ=rⁿ(cos nγ+isin nγ) – ф-ла для n-ой степени комплексного числа.

Формула для извлечения корня из комплексного числа: W_k=ⁿ√z=ⁿ√r(cos(γ+2πk/n)+isin(γ+2πk/n))

Формула Эйлера: e^ix=cosx+isinx

Бесконечно малые последовательности. Теорема о произведении бесконечно малой на oграниченная последовательность и о сумме 2 бесконечно малых. Бесконечно большие последовательности; их связь с бесконечно малыми.

Последов. а_n называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех членов последовательности выполняется нер-во | а_n | ≤ М.

Последовательность а₁ а₂ ….а_n называется бесконечно малой, если для любого положительного числа Е существует такой номер N, после которого все члены последовательности по абсолютной величине <Е. (Для всякого Е>0 сущ N,что для люб n [ n>N→|a|<Е]).

Пример: a_n=(-1)ⁿ/n² -1; ¼; -1/9; 1/16… |a_n|=1, ¼, 1/9, 1/16, 1/25... Е=1/100, N-? N=10 =>n>10, то |a_n |< 1/100