Студопедия
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Теорема о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения

Читайте также:
  1. II Всероссийский съезд Советов рабочих и солдатских депутатов и его важнейшие решения.
  2. II. Гигиенические требования к структуре, содержанию и нормам формирования тренировочных нагрузок
  3. II. Рассмотрение заявления объекта туристской индустрии и представленных документов и принятие решения о проведении классификации
  4. VI. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
  5. А) повышение общего уровня цен
  6. А)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и из св-ва). б)Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.
  7. Агрессивность в структуре различных синдромов, вызванных хромосомными аномалиями.
  8. Акционерам общества при подготовке и проведении общего собрания акционеров рекомендуется предоставлять всю существенную информацию по каждому вопросу повестки дня.
  9. Алгоритм решения задач ЦП методами отсечения.
  10. Алгоритм решения транспортных задач. Метод северо-западного угла.

Рассмотрим неоднородное линейное уравнение n-го порядка:

 

L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y = f (x). (13.1)

 

Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование неоднородного уравнения (13.1) приводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (13.1).

 

Действительно, пусть y = y1 (x) — частное решение уравнения (13.1), т. е.

 

L(y1 (x)) ≡ f (x)   (a < x < b). (13.2)

 

Положим

 

y = y1 + z, (13.3)

 

где z — новая неизвестная функция от x. Тогда уравнение (13.1) примет вид

 

L(y1 + z) = f (x) или L(y1) + L(z) = f (x),

 

откуда в силу тождества (13.2) получаем

 

L(z) = 0. (13.4)

 

Это есть однородное линейное уравнение, левая часть которого та же, что и у рассматриваемого неоднородного уравнения (13.1). Уравнение (13.4) называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (13.1).

 

Пусть

 

z1 (x), z2 (x), …, zn (x)   (a < x < b)

 

есть фундаментальная система решений однородного уравнения (13.4). Тогда все решения этого уравнения содержатся в формуле его общего решения

 

z = (13.5)

 

Подставляя это значение z в формулу (13.3), получим

 

y = y1 + (13.6)

 

Эта формула содержит в себе все решения неоднородного линейного уравнения (13.1). Функция (13.6), как нетрудно убедиться, является общим решением уравнения (13.1).

 

Таким образом мы доказали следующую теорему о структуре общего решения неоднородного линейного уравнения (13.1).

 

Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (13.1) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (13.4).




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 106 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2025 год. (0.227 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав