Читайте также:
|
В теории оптимизации вводимые далее понятия производных играют первостепенную роль, т. к. позволяют, помимо всего прочего, обобщить на бесконечномерный случай многие традиционные конструкции конечномерного анализа, такие, как градиентные методы, методы Ньютона, матрицы Якоби и т. д. Сделаем вначале общие замечания о дальнейшем изложении. В функциональном анализе дифференциальное исчисление может рассматриваться для отображений одного аффинного пространства в другое, причем первое считается нормированным. При этом вводится специальное понятие аффинного пространства и присоединенного к нему векторного пространства. Грубо говоря, аффинное пространство — это пространство "свободных" векторов, имеющих начало и конец в любых точках. В векторном же пространстве все векторы начинаются в нуле. Нетрудно показать, что векторное пространство является частным случаем аффинного пространства. Для этого достаточно сопоставить любым двум векторам вектор их разности.
В соответствии с последним замечанием можно рассматривать (менее общую) теорию дифференциального исчисления для отображений векторного пространства в векторное же пространство. Чаще всего эти векторные пространства наделяются структурой банахова пространства. Далее мы будем следовать именно такому подходу. В функциональном анализе рассматривают два вида дифференцируемости: сильную, или дифференцируемость по Фреше, и слабую — дифференцируемость по Гато. Первый случай соответствует понятию полной производной, а второй — понятию производной по направлению (или частной производной вдоль вектора). Мы далее в ос- новном изложим лишь теорию сильной дифференцируемости, а потому вообще не будем употреблять прилагательных "сильная" и "слабая" для производных. Пусть E и F — банаховы (действительные) пространства, A 
E — открытое подмножество в E. Пусть также f: A →F, g: A→ F — заданные непрерывные отображения. Отображения f и g называются касательными в точке 
, если
.
(Отсюда следует, что 
.) Легко показать, что это отношение эквивалентности во множестве непрерывных отображений A→F, т. е., в частности, если f и g касательны в точке 
и g и h касательны в точке 
, то f и h касательны в точке .
Непрерывное отображение: f A →F называется дифференцируемым в точке , если существует линейное отображение u: E →F, такое, что отображение E→F вида
касательно к f в точке 
. Такое линейное отображение называется производной (или полной производной) отображения f в точке и обозначается символом f ′ или D f .
Можно доказать, что если производная существует, то она единственна. Действительно, пусть найдутся два таких отображения:
x - ,
x - .
Эти отображения по предположению касательны к fx при 
. (Они также будут касательными между собой.) Для линейного отображения 
это означает, что
= 0, где 
(1.4)
Если 
, т. е. тождественного равенства нет, то для некоторого 
Отсюда следует, что при 
и соотношение (1.4) не может быть выполнено.
Теорема 1.20. Если непрерывное отображение f: A →F дифференцируемо в точке , то производная f′ 
является непрерывным линейным отображением E→F.
Доказательство опускаем.
Замечание.
1. Из вышеизложенного следует, что производная непрерывного отображения f: A →F в точке (если она существует) является элементом банахова пространства L E; F непрерывных линейных отображений E→F, а не элементом пространства F. Основная идея дифференциального исчисления как раз и связана с локальной аппроксимацией функций линейными функциями. Таким образом, и в классическом анализе производная функции в точке — это не число ("тангенс угла наклона касательной"), а соответствующая линейная функция. Другое дело, что в теории вещественных функций вещественного переменного между линейными функциями и числами существует взаимно однозначное соответствие. Введенное выше общее определение производной совершенно проясняет ситуацию.
2. Опять же из вышеизложенного следует, что понятие производной можно считать введенным для любых нормированных пространств — не обязательно банаховых. Это замечание мы будем использовать в последующих примерах.
3. Производная 
является линейным отображением вида E→F. Выражение 
(это элемент пространства F), где 
, называется дифференциалом (дифференциалом Фреше) отображения f в точке .
Легко видеть, что производная непрерывного линейного отображения (оператора) 
существует для любой точки 
, и при этом 
. Действительно, в силу линейности u
Если отображение 
дифференцируемо в любой точке открытого множества A, то оно называется дифференцируемым в A.
Отображение 
вида 
обозначается символом f′ или D f и называется производной отображения f в A. Ранее мы ввели понятие производной в точке с аналогичными обозначениями.
Если отображение D f непрерывно, то f называется непрерывно-дифференцируемым в A.
Литература
1. Черноруцкий. И. Г. Методы оптимизации. Компьютерные технологии. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011.- 384 с.:ил.
2. Методическое пособие Задание заочникам 3
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 124 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |