Читайте также:
|
В теории метрических пространств развивается геометрический язык, на котором выражаются результаты анализа. Этот язык позволяет придать этим результатам достаточную общность и вместе с тем дать наиболее простые и отражающие суть дела доказательства. Нас будут интересовать топологические аспекты теории метрических пространств, связанные с концепцией предельного перехода, а также алгебраические аспекты при изучении основных операций над элементами метрических пространств. Метрические пространства являются частным видом более общих топологических пространств.
Пусть Е — некоторое множество. Расстояние в Е есть отображение (функционал) 
произведения E×E во множество действительных чисел R:
: E × E → R.
Предполагается, что функционал d обладает следующими свойствами:
1. 
: d (
0.
2. 
= 0 
.
3. 
= 
4. x, y, z: d x, z 
+ 
E.
Свойство 4 называется неравенством треугольника.
Множество Е с заданным в нем расстоянием d называется метрическим простран- ством. Обычно это пространство, т. е. пару E, d, обозначают одной буквой Е.
Примеры метрических пространств.
1. Множество C a, b всех непрерывных действительных функций, определенных на отрезке a, b с расстоянием
d 
, g = 
.
2. В этом же множестве функций можно ввести расстояние
d , g = 
В результате получим пространство непрерывных функций с квадратичной метрикой C² a, b.
Обычно та или иная метрика для построения метрического пространства выбирается в соответствии с особенностями решаемой задачи. Первая метрика в приведен- ном примере отражает достаточно жесткое требование к близости функций. Ее применяют, например, при решении задачи равномерного приближения функций (равномерная аппроксимация), когда требуется гарантировать, чтобы на всем отрезке a, b отклонение функций и g было меньше некоторой заданной величины. Вторая метрика отражает менее жесткое требование. Оно заключается в том, что для "подавляющего" большинства (но не для всех) значений аргумента t из a, b абсолютная величина 
- g│ также мала. Во многих случаях, например, при обработке результатов наблюдений квадратичное приближение является наиболее приемлемым, т. к. оно позволяет сглаживать отдельные локальные выбросы аппроксимируемой (экспериментальной) функции с помощью некоторой теоретической расчетной зависимости. В итоге можно получить достаточно точное общее представление о характере протекающего процесса даже при наличии ошибок при измерении экспериментальных зависимостей.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 26 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |