Читайте также:
|
В евклидовых пространствах вводится понятие скалярного произведения, а уже на его основе определяется норма.
Пусть в действительном линейном пространстве L задан функционал L× L →R . Значение этого функционала называется скалярным произведением и обозначается 
, 
L y 
L , если выполняются следующие условия:
1. 
L : x, x 
0.
2. x, x 
0 
x 0.
3. λx,y =λ x, y, λ 
R.
4. x1 +x2, y =x1, y + x2 , y.
5. x, y =y, x .
Линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Иногда евклидовы пространства называются предгильбертовыми пространствами, а для скалярного произведения используется обозначение x / y. Норма в евклидовом пространстве вводится формулой
= 
.
Можно проверить, что все аксиомы нормы оказываются при этом выполненными. В евклидовом пространстве может быть задан угол между векторами. Для ненулевых векторов , x L y L угол определяется выражением
Можно доказать, что, как и должно быть, правая часть равенства не превосходит единицы. Если для ненулевых векторов x L , y L имеем , x, y = 0 , то 
= π/2, а векторы x и y называются ортогональными. Система ненулевых векторов 
из L называется ортогональной, если они попарно ортогональны:
α 
= 0.
Счетность множества x не предполагается.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 6 | Нарушение авторских прав