Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Банаховы пространства

Линейное пространство L называется нормированным, если на L задан функционал f: L → R, удовлетворяющий следующим четырем условиям для, x, y L λ R:

1. f x 0.

2. f x = 0 x = 0.

3. f λ x = f x.

4. f x + y f x + f y (неравенство треугольника).

Такой функционал f называется нормой в L. Значение f x обозначается и называется нормой элемента x. Нормированным пространством называется линейное пространство L с заданной в нем нормой.

Если x → — норма в L, то функционал L ×L→ R вида d x,y = есть расстояние в L. Норма индуцирует соответствующую метрику. Справедливость аксиом метрики легко проверяется.

Таким образом, для нормированных пространств имеют смысл все понятия, введенные для метрических пространств. Полное нормированное пространство называется банаховым пространством или B-пространством.

Пример 1.

В пространстве C a, b непрерывных функций определим норму фор- мулой:

= .

Порожденная этой нормой метрика совпадает с ранее рассматриваемой метрикой для этого множества. Как мы указывали, это множество функций является полным относительно своей метрики, и, следовательно, пространство C a, b является банаховым пространством.

Подпространством нормированного пространства L называется подпространство линейного пространства L (линейное подпространство), которое является замкнутым множеством относительно расстояния, индуцированного заданной нормой. Иначе говоря, подпространство нормированного пространства есть линейное подпространство, содержащее все свои предельные точки. Еще раз отметим, что толь- ко замкнутые линейные подпространства нормированного пространства будут называться подпространствами нормированного пространства. Например, в пространстве C a, b непрерывных функций с указанной нормой многочлены образуют подпространство соответствующего линейного пространства, но не замкнутое. Следовательно, это подпространство не будет подпространством нормированного пространства C a, b. В конечномерном нормированном пространстве ситуация проще. Там любое линейное подпространство обязательно замкнуто. Совокупность элементов (не обязательно замкнутую), содержащую вместе с x, y их произвольную линейную комбинацию λx +β y (подпространство линейного пространства), будем в случае нормированных пространств называть линейным многообразием. Для нормированных пространств, являющихся частным случаем линейных пространств, сохраняются все определения и результаты, полученные для линейных пространств. Например, такие понятия, как наименьшее подпространство, порожденное подпространство, линейная оболочка и т. д.

В теории нормированных пространств замыкание линейной оболочки произвольного непустого множества называется подпространством, порожденным элементами . (Можно доказать, что указанное замыкание действительно будет линейным подпространством.) Система элементов нормированного пространства L называется полной, если порождаемое ею линейное многообразие имеет замыкание, совпадающее со всем про- странством L. Иначе говоря, если порождаемое ею подпространство совпадает с L.

Пример 2. Система функций 1, t, t², t³,… полна в пространстве непрерыных функций C a, b.