Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Невласні інтеграли II роду.

Розглянемо тепер функцію , яка визначена на півінтервалі , і нехай виконана умова:

(8.8.1)

Точку будемо називати особливою точкою функції . У цій точці графік функції має вертикальну асимптоту (рис. 8.6).

Рис. 8.6

Нехай функція інтегровна на будь якому проміжку , де .

Означення. Невласним інтегралом II роду від функції називається границя:

. (8.8.2)

Якщо границя (8.8.2) існує і скінченна, то інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Якщо особливою точкою функції є точка , то:

. при умові, що функція інтегровна на проміжку , де також .

Нарешті, якщо особливою точкою є деяка точка всередині проміжку , то за означенням покладають:

. (8.8.3)

Якщо існують окремо скінченні границі

то інтеграл у лівій частині рівності (8.8.3) називається збіжним, а якщо хоч би одна з цих границь не існує, або нескінченна – розбіжним.

Якщо особливими являються точки і , то за означенням:

, де – довільна точка інтервалу . Інтеграл у лівій частині рівності буде збіжним тоді і тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли у правій частині рівності.

З геометричної точки зору інтеграл II роду (8.8.2) також, як і невласний інтеграл I роду, виражає площу нескінченної фігури (рис. 8.7).

Рис. 8.7

Але якщо у випадку інтеграла I роду нескінченність, так кажучи, відносно осі (рис. 8.5), то тут – відносно осі . Фактично це така ж сама нескінченна криволінійна трапеція, тільки повернута на кут 90 градусів. А це свідчить про те, що між невласними інтегралами I та II роду існує певний зв’язок. Дійсно, нехай, наприклад, особливою точкою функції є точка . Тоді

.

У останньому інтегралі позначимо:

.

Якщо , то очевидно , і ми отримуємо:

.

Таким чином звели невласний інтеграл II роду до невласного інтегралу I роду.

Приклади. Дослідити на збіжність і у випадку збіжності обчислити інтеграли.

1) .

У даному прикладі особливою є точка . Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2) .

Особливою є точка , оскільки . Маємо:

Отже інтеграл розбіжний.

3) Встановити, для яких значень параметра інтеграл збігається, а для яких

розбігається:

.