Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Построение уравнения регрессии

Постановка задачи. По имеющимся данным n наблюдений за совместным изменением двух параметров x и y {(xi, yi), i=1,2,...,n} необходимо определить аналитическую зависимость , наилучшим образом описывающую данные наблюдений.

Построение уравнения регрессии осуществляется в два этапа (предполагает решение двух задач):

– спецификация модели (определение вида аналитической зависимости );

– оценка параметров выбранной модели.

Спецификация модели. Парная регрессия применяется, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной.

Применяется три основных метода выбора вида аналитической зависимости:

– графический (на основе анализа поля корреляций);

– аналитический, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

– экспериментальный, т. е. путем сравнения величины остаточной дисперсии σ ост или средней ошибки аппроксимации A, рассчитанных для различных моделей регрессии (метод перебора).

Оценка параметров модели. Для оценки параметров регрессий, линейных по этим параметрам, используется метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений ŷ x при тех же значениях фактора x минимальна, т. е.

В случае линейной регрессии параметры а и b находятся из следующей системы нормальных уравнений метода МНК:

(1.1).

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы: (1.2)

Для нелинейных уравнений регрессии, приводимых к линейным с помощью преобразования (x, y) → (x’, y’), система нормальных уравнений имеет вид (1.1) в преобразованных переменных x’, y’.

Коэффициент b при факторной переменной x имеет следующую интерпретацию: он показывает, на сколько изменится в среднем величина y при изменении фактора x на 1 единицу измерения.

Гиперболическая регрессия: .

Линеаризующее преобразование: x’ = 1/x; y’ = y.

Уравнения (1.1) принимают вид .

А готовые формуламы (1.2):

Экспоненциальная регрессия:

Линеаризующее преобразование: x’ = x; y’ = lny.

Степенная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = ln x; y’ = ln y.

Показательная функция:

Линеаризующее преобразование: x’ = x; y’ = lny.

Парабола:

имеет 3 параметра a, b, c, которые определяются из системы трех уравнений