Читайте также:
|
Бесконечная струна
Рассмотрим уравнение Даламбера (1) на всей числовой оси.
, 
, (18)
Это соответствует физической задаче о струне больших размеров. Для простоты считаем, что 
, т.е. внешних сил нет. Мы покажем, что (18) имеет бесконечно много решений и для однозначного задания движения струны достаточно здесь задать начальные положения и скорости всех точек струны
; 
(19)
Задача (18)-(19) называется задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения (1). Равенства (19) называются начальными условиями, а функции 
, 
-начальными данными.
Решение Даламбера
Как будет доказано далее, общее решение уравнения (18) имеет вид
(20)
где 
и 
– произвольные функции одной переменной. Решение (20) уравнения (18) называется решением Даламбера.
Чтобы доказать (20), сделаем замену переменных в дифференциальном уравнении (18),
; 
(21)
Замена переменных
Выразим функцию 
в новых координатах
Сделать замену переменных в (18) – значит найти дифференциальное уравнение для 
, эквивалентное (18)
Подставим эти представления в уравнения в (18):
Отсюда
. (22)
Это есть канонический вид уравнения (18).
Решим (22). Обозначим 
. Уравнение (22) запишется в виде 
Отсюда следует, что 
не зависит от 
, т.е. 
или 
(23)
Интегрируем (23)
(24)
Таким образом, 
где 
и – некоторые функции одной переменной. Проведем в этом представлении замены 
, получим
Замечание. График функции 
при любом 
получается из графика функции 
с помощью параллельного переноса вправо (влево) вдоль 
на 
. Таким образом, форма графика функции 
, как функции от 
при разных фиксированных 
одна и та же. Само явление, описываемое функцией , называется распространением прямой волны (волна распространяется в положительном направлении оси со скоростью 
). Точно также функция 
представляет обратную волну, которая распространяется в отрицательном направлении оси со скоростью . Такие функции в физике называются бегущими волнами. Решение (20) является суммой прямой и обратной волн.
Решение задачи Коши (18), (19) для уравнения Даламбера
Заменим уравнение (18) равносильным представлением (20). Остается учесть начальные условия (19). Из них мы найдем неизвестные функции и по заданным и .
Подставим (20) в (19), получим
Интегрируем (26)
Из последнего уравнения и уравнения (25) имеем
Подставим эти представления в (20). Имеем,
(27)
Формула (27) дает решение задачи Коши (18),(19) и называется формулой Даламбера. Решение задачи Коши получаем в случае, если 
дважды, а 
один раз непрерывно дифференцируемы по .
Задача Коши (18), (19) поставлена корректно. Действительно, полученное решение единственно, что следует из способа вывода формулы (27). Очевидна непрерывная зависимость решения (27) от начальных данных (устойчивость решения). Действительно, для любого 
можно указать такое 
, что если заменить и на 
и 
, так что 
и 
при всех 
, то разность между новым решением 
и первоначальным 
оценивается так:
где 
. Положим 
и получим 
на любом конечном отрезке времени 
и при всех .
Рассмотрим два частных случая.
1. Начальные скорости 
, а начальное смещение имеет место лишь в конечном промежутке 
. Решение (27) в этом случае имеет вид
(28)
Уже отмечалось, что это сумма двух бегущих волн, распространяющихся влево и вправо со скоростью . Пусть точка лежит правее , т.е. 
.
При 
, т.е. 
из вида и формулы (28) следует, что =0, т.е. до точки волна еще не дошла. С момента времени 
точка начинает колебаться (момент прохождения переднего фронта прямой волны). При 
, т.е. 
из (28) следует, что 
. Моменту 
соответствует прохождение заднего фронта прямой волны через точку , после чего в этой точке обращается в нуль. Аналогичные рассуждения можно провести для точек струны, лежащих внутри промежутка или левее его. Таким образом, для каждой точки струны в некоторый момент наступает покой.
2. Начальное смещение равно 
, а начальные скорости отличны от нуля лишь в некотором промежутке . В этом случае говорят, что струна имеет только начальный импульс. Решение (27) принимает вид
(29)
Положим 
. Получим 
Т.е. по струне распространяются 2 волны: прямая и обратная. Исследуем решение (29) более подробно. Пусть точка лежит правее . При 
промежутки интегрирования 
вырождается в точку , а затем, при увеличении он расширяется в обе стороны со скоростью . При он не будет иметь общих точек с , функция 
и формула (29) даст 
, т.е. покой в точке . Начиная с момента , промежуток будет накладываться на , в котором 
отлична от нуля и точка начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку 
.
Наконец, при 
промежуток 
будет содержать целиком промежуток 
, интегрирование по будет сводиться к интегрированию по , так как вне него , т.е. при 
мы имеем постоянное значение 
, равное
. (*)
Таким образом, действие начального импульса сводится к тому, что с течением времени точки струны сдвигаются на отрезок, длина которого выражается интегралом (*) и остается без движения в этом новом положении. Волны оставляют после себя как бы след своего прохождения.
Полуограниченная струна. Метод продолжений.
Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной струне 
. Это задача имеет особенно важное значение при изучении процессов отражения волн от конца и ставится следующим образом:
удовлетворяющее граничному условию:
и начальным условиям:
.
Вначале рассмотрим однородное граничное условие
,
т.е. задачу о распространении начального возмущения на струне с закреплённым концом 
(или в задаче со свободным концом струны).
Лемма 1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки 
, то соответствующее решение в этой точке равно 0.
Лемма 2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки 
, то производная по 
соответствующего решения в этой точке равна нулю.
Докажем лемму 1. Примем за начало координат 
. В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде
.
Функция , определяемая формулой (27) при равна
,
т.к. первое слагаемое равно нулю в силу нечетности 
, а второе слагаемое равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.
Аналогично доказывается лемма 2. Условия четности начальных данных имеет вид
.
Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной 
.
Из (27) следует:
,
т.к. первое слагаемое равно 0 в силу нечетности 
, а второе – в силу четности .
При помощи этих двух лемм можно решить следующие задачи.
1. Найти решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям
(30)
граничным условиям
(1 краевая задача)
Построение решения. Рассмотрим функции 
и 
, являющиеся нечетными продолжениями и :
.
Функция
определена при всех 
и 
. Действительно, в силу леммы 1 . Кроме того, эта функция удовлетворяет следующим начальным условиям
.
Таким образом, рассматривая полученную функцию 
, только для 
, получим функцию, удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.
Возвращаясь к исходным функциям, можем записать
Поясним интеграл 
:
Видим, что в области 
влияние граничных условий не сказывается и выражение для 
совпадает с (27) для бесконечной прямой.
Аналогично ставится следующая задача.
2. Требуется найти решение уравнения (18), удовлетворяющее начальным условиям (30) и условиям «свободного конца» 
, то беря четное продолжение функций 
и 
,
получим решение уравнения колебаний
, или
,
удовлетворяющее в области 
начальным условиям (30) и граничному условию .
Выводы. Для решения начально-краевой задачи для волнового уравнения в области с условием на границе 
начальные данные надо продолжить на всю прямую нечетно. Для решения задачи с условием на границе 
начальные данные надо продолжить на всю прямую четно.
Распространение волн
Упражнение 1. Натянутая полубесконечная струна покоится, а начиная с момента 
ее левый конец 
движется вверх и вниз с заданным смещением 
. Нарисовать форму веревки при 
Решение. Нужно решить смешанную задачу
.
1) 
(ниже главной характеристики - покой, поскольку обе волны определяются по нулевым условиям на оси ).
2) 
. Поскольку 
(волна, бегущая влево определена нулевыми начальными условиями), то
.
3) при , 
.
Поэтому 
при 
Упражнение 2. Натянутая веревка вначале покоится, а начиная с момента
. Ее левый конец перемещается вверх и вниз с заданной силой 
при этом 
. Натяжение 
.
Решение. Найдем решение начально-краевой задачи
1) , в частности .
2) 
- подставим это представляя в граничное условие 
. Следовательно, 
Условие непрерывности при 
:
. Тогда,
Метод нечетного продолжения
Упражнение 3. Полуограниченной струне с закрепленным концом в начальный момент времени с помощью поперечного удара передается импульс 
в точке 
. Найти отклонения точек струны от положения равновесия при 
, если начальные отклонения 
. А начальные скорости в точках 
также равны нулю.
Решение. Считаем импульс равномерно распределенным по отрезку 
. Тогда мы приходим к краевой задаче
Ее решение получается по формуле Даламбера с помощью нечетного продолжения начальных условий. Переходя к пределу при 
в решении этой краевой задачи, получим решение исходной задачи
Метод четного продолжения
Упражнение 4. По упругому полубесконечному стержню при 
распространяется волна деформации, бегущая влево:
Левый конец стержня при упруго закреплен
.
Найти при .
Решение. Из условия вытекает, что
.
При 
получим 
При 
ищем решение в виде 
Подставляем в первое краевое условие при
.
Положим 
. Получим
.
Поэтому общее решение неоднородного уравнения
.
Константы А и В ищем, подставляя 
в
Из непрерывности при 
; 
.
Ответ:
при
при
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Выписать решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями
Задача 2. Выписать решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями 3 рода
где 
- некоторая постоянная.
Задача 3. Выписать решение начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний на полупрямой с неоднородными граничными условиями
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 115 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |