Читайте также:
|
|
Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.
Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.
Рассмотрим пример. Найти первообразную , если .
Решение. Раньше мы эту задачу решали с помощью неопределенного интеграла. Однако, ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению . .
В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:
. (12.1)
Например: .
Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:
, (12.2)
где - некоторая функция от переменной.
Определение. Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.
Например, есть решение уравнения , т.к. .
Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Пример. Решить уравнение: .
Решение. Поскольку , то . Интегрируя левую и правую часть равенства, получим . Т.к. , то разделив переменные имеем . Интегрируя вторично, получим решение: , .
Проверка: .
Определение. Общим решением дифференциального уравнения (12.1) –го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных постоянных .
Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .
Например, для уравнения , где .
Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши
Задача. Из статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и умерших пропорционально текущей численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Описать протекание демографического процесса во времени (найти закон изменения численности населения с течением времени).
Решение. Пусть - текущая численность населения . За время имеем родившихся и умерших, тогда прирост населения за есть:
, или , где .
Переходя к пределу при , получим ,
- дифференциальное уравнение демографического процесса.
Решая это уравнение, получим: .
Постоянная интегрирования есть численность населения при , т.е. .
Окончательно, имеем .
Определение. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия ( и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).
Пояснение. Для полного описания эволюции какого-либо процесса помимо дифференциального уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия и т.д.) и, во-вторых, задать режим на границе области, где протекает процесс (граничные условия).
Дата добавления: 2015-09-11; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |