Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса.

Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков искомой функции.

Определение. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких переменных – то уравнением в частных производных.

Рассмотрим пример. Найти первообразную , если .

Решение. Раньше мы эту задачу решали с помощью неопределенного интеграла. Однако, ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению . .

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде:

. (12.1)

Например: .

Определение. Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

, (12.2)

где - некоторая функция от переменной.

Определение. Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция , которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Например, есть решение уравнения , т.к. .

Определение. Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования этого дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Поскольку , то . Интегрируя левую и правую часть равенства, получим . Т.к. , то разделив переменные имеем . Интегрируя вторично, получим решение: , .

Проверка: .

Определение. Общим решением дифференциального уравнения (12.1) –го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменных и произвольных постоянных .

Определение. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных .

Например, для уравнения , где .

Задача о построении математической модели демографического процесса. Задача Коши

Задача. Из статистических данных известно, что для некоторого региона число новорожденных и умерших пропорционально текущей численности населения с коэффициентами пропорциональности и соответственно. Описать протекание демографического процесса во времени (найти закон изменения численности населения с течением времени).

Решение. Пусть - текущая численность населения . За время имеем родившихся и умерших, тогда прирост населения за есть:

, или , где .

Переходя к пределу при , получим ,

- дифференциальное уравнение демографического процесса.

Решая это уравнение, получим: .

Постоянная интегрирования есть численность населения при , т.е. .

Окончательно, имеем .

Определение. Задачей Коши называется задача, в которой для дифференциального уравнения заданы только начальные условия ( и т.д.) и не накладывается никаких граничных условий, (т.е. граница отсутствует).

Пояснение. Для полного описания эволюции какого-либо процесса помимо дифференциального уравнения необходимо, во-первых, задать картину процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия и т.д.) и, во-вторых, задать режим на границе области, где протекает процесс (граничные условия).