Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

2.

F_факт =

·

=

·5 = 0,92

где F_факт=6,6< F_фактα=0,05.

Следовательно, принимается гипотеза Н₀ о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Пример 2

По территориям региона приводятся данные за 199Х г. (табл. 1.6).

Таблица 1.6

Требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии у от х.

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы у при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимумах, составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение

1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7).

Таблица 1.7

b =

=

=

= 0,92

a = y - b · x = 155,8 - 0,92 · 85,6=77,0

Получено уравнение регрессии: у = 77,0+0,92 · х.

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

r_xy = b ·

= 0,92 ·

= 0,721; r²_xy = 0,52

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

A =

Σ A_i =

= 5,7%

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как А не превышаете- 10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: а = b = r_xy = 0.

t_табл для числа степеней свободы df=n-2 = l2-2=10 и α = 0,05 составит 2,23.

Определим случайные ошибки т_а, т_b, т_xy:

Тогда

t_a =

= 3,2; t_b =

= 3,3; t_xy =

= 3,3;

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

t_a - 3,2 > t _табл = 2,3; t_b = 3,3 > t_табл = 2,3; t_{r xy} =3,3>t_табл = 2,3,

поэтому гипотеза H₀ отклоняется, т.е. a b и r _ху не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Δa = 2,23 · 24,3 = 54; Δb = 2,23 · 0,281 = 0,62

Доверительные интервалы:

γ_a = a ± Δ_a=77 ± 54;
γ _{a min} = 77 - 54 = 23;
γ_{a max} = 77 + 54 = 131;
γ_b = b ± Δ _b = 0,92 ±0,62;
γ_{b min} = 0,92 - 0,62 = 0,30;
γ_{a max} = 0,92 + 0,62 = 1,54;

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью ρ = 1 - σ = 0,95 параметры а и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: х_р = x· 1,07 = 85,6 · 1,07 = 91,6 тыс. руб., тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит: ŷ _р =77+ 0,92 · 91,6 = 161 тыс. руб.

5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Δŷ_p = t_табл· m _{ŷ p} = 2,23 - 13,2 = 29,4.

Доверительный интервал прогноза:

γ _{ŷ p} = 91,6 ± 29,4;
γ _{ŷ p min} = 91,6 - 29,4 = 62,2; руб.
γ_{ŷ p max} = 91,6 + 29,4 = 121; руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным (р = 1 - σ= 1 - 0,05 = 0,95), но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D_γ составляет 1,95 раза:

Dγ =

=

Пример 3

По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 1.8.

Таблица 1.8

Требуется:

1. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2. Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение

Для уравнения равносторонней гиперболы у _Х1 =0,62 + 58,74·

:

Для уравнения прямой ŷ_х2 = 9,30 + 9,83 · х₂

Э_yx2 = ƒ '(x₂)

=

=

= 0,59%

Для уравнения степенной зависимости ŷ_х3 = 1 1,75 + х₃^1,6281

Э_yx3 = ƒ'(x₃)

= a · b · x₃^{b - 1} =

= b = 1,63 %

Для уравнения показательной зависимости ŷ_х4 = 1 4,87 + 1,016 х₃^x₄

Э_yx4 = ƒ'(x₄)

= a · b ^x4· ln b ·

= ln 1,016 · 26,3 = 0,42 %

2. Сравнивая значения Э_yxi ранжируем Xj по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

а) Э_yx3=1,63%; в) Э_yx2=0,59%;

б) Э_yx1 = -0,973%; г) Э_yx4= 0,42%.

Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на -0,97%.

Пример 4

Зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

уравнение регрессии ŷx=2·x^0,3;

индекс корреляции ρ_ху = 0,9;

остаточная дисперсия σ² _ОСТ = 0,06.

Требуется:

Провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.9.

Таблица 1.9

S_ост = σ² _ост· n = 0,06 · 20 = 1,2;
S_общ = S_ост: (1 - p ² _xy) = 1,2: (1 - 0,81) = 6,316;
S_факт = 6,316 - 1,2 = 5,116;
F_факт =

·

= 76,7

В силу того что F_факт = 76,7 > F_табл = 4,4, гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта А от среднедушевого дохода.

1.3. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Решение с помощью ППП Excel

1. Встроенная статистическая функция ЛИНБЙН определяет параметры линейной регрессии у = а + b · х. Порядок вычисления следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) выделите область пустых ячеек 5x2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1x2 - для получения только оценок коэффициентов регрессии,

3) активизируйте Мастер функций любым из способов

а)в главном меню выберите Вставка/Функция,

б)на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции,

4) в окне Категория (рис 1 1) выберите Статистические, в окне Функция - ЛИНЕЙН Щелкните по кнопке ОК,

Рис. 1.1 Диалоговое окно "Мастер функций"

5) заполните аргументы функции (рис 1 2)

Известные_значения_у - диапазон, содержащий данные результативного признака,

Известные_значения_х - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака,

Константа - логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении, если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = О, то свободный член равен О, Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения Щелкните по кнопке ОК,

Рис. 1.2.Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу <F2>, а затем - на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHEFT>+<ENTER>

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме

Для вычисления параметров экспоненциальной кривой

у =α β ^x MS Excel применяется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН

Для данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕИН представлен на рис. 1.3, функции ЛГРФПРИБЛ - на рис. 1.4.

Рис. 1.3. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Рис. 1.4. Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ

2. С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности Порядок действий следующий'

1) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис /Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 1.5);

Рис. 1.5. Подключение надстройки Пакет анализа

2)в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия

Щелкните по кнопке ОК,

3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис 1 6)

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X - диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет,

Константа - ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового

листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК

Рис.1.6. Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных из примера 2 представлены на рис. 1 7

Рис. 1.7. Результат применения инструмента Регрессия

Решение с помощью ППП Statgraphics

Порядок вычислений при использовании функции Simple Regression следующий:

1) введите исходные данные (рис. 1.8) или откройте существующий файл, содержащий исходные данные;

2) в главном меню последовательно выберите Relate/Simple Regression;

3) заполните диалоговое окно ввода данных. В поле "Y" введите название столбца, содержащего зависимую переменную, в поле "X" - название столбца, содержащего значения факторного признака. Щелкните по кнопке ОК;

Рис. 1.8. Диалоговое окно ввода данных

4) в окне табличных настроек поставьте флажок напротив Analysis Summary.

Результаты вычислений появятся в отдельном окне.

Для данных из примера 2 результат применения функции Simple Regression представлен на рис. 1.9.

Рис. 1.9.Итоговое окно функции SimpleRegression

Как видим, результаты вычислений вручную и с помощью компьютера совпадают.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задача 1

Получены функции:

Задание

Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.

Задача 2

Исследуя спрос на телевизоры марки N, аналитический отдел компании ABC по данным, собранным по 19 торговым точкам компании, выявил следующую зависимость:

ln y = 10,5 - 0,8 ln x +ε,

(2,5) (-4,0)

где у - объем продаж телевизоров марки N в отдельной торговой точке;
х - средняя цена телевизора в данной торговой точке; в скобках приведены фактические значения t-критерия Стьюдента для параметров уравнения регрессии.

Задание

До проведения этого исследования администрация компании предполагала, что эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет -0,9. Подтвердилось ли предположение администрации результатами исследования?

Задача 3

Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом:

y_A = 600,
y_B = 80 + 0,7x,
y_C = 40x^0,5

Задание

1. Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл.

2. Сравните при х = 1000 эластичность затрат для продукции В и С.

3. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции В и С были равны.

Задача 4

Пусть имеется следующая модель регрессии, характеризующая зависимость у от х:

y = 8 - 7x + ε

Известно также, что r_xy= -0,5; n = 20

Задание

1. Постройте доверительный интервал для коэффициента регрессии в этой модели:

а)с вероятностью 90%;

б)с вероятностью 99%.

2. Проанализируйте результаты, полученные в п.1, и поясните причины их различий.

Задача 5

Изучается зависимость потребления материалов у от объема производства продукции х. По 20 наблюдениям были получены следующие варианты уравнения регрессии:

1. y = 3 + 2 x + ε

(6,48)

2. ln y = 2,5 + 0,2 · lnx + ε, r₂ = 0,68

(6,19)

3. ln Y = 1,1 + 0,8 · X + ε r₂ = 0,69

(6,2)

4. Y = 3 + 1,5 · + 0,1 · X² r₂ = 0,701

(6,2) (2,65)

В скобках указаны фактические значения t-критерия.

Задание

1. Определите коэффициент детерминации для 1-го уравнения.

2. Запишите функции, характеризующие зависимость у от х во 2-м и 3-м уравнениях.

3. Определите коэффициенты эластичности для каждого из уравнений.

4. Выберите наилучший вариант уравнения регрессии.

Задача 6

По совокупности 30 предприятий торговли изучается зависимость между признаками: х - цена на товар А, тыс. руб.; у - прибыль торгового предприятия, млн руб.

При оценке регрессионной модели были получены следующие промежуточные результаты:

∑(y_j - ŷ x)² = 39 000;
∑(y_j - y)² = 120 000;

Задание

1. Поясните, какой показатель корреляции можно определить по этим данным.

2. Постройте таблицу дисперсионного анализа для расчета значения F-критерия Фишера.

3. Сравните фактическое значение F-критерия с табличным. Сделайте выводы.

Задача 7

Зависимость среднемесячной производительности труда от возраста рабочих характеризуется моделью: у = а + bх + сх. Ее использование привело к результатам, представленным в табл. 1.10.

Таблица 1.10

Задание

Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.

Задача 8

Моделирование прибыли фирмы по уравнению у = abx привело к результатам, представленным в табл. 1.11.

Таблица 1.11

Задание

Оцените качество модели. Для этого:

а)определите ошибку аппроксимации;

б)найдите показатель тесноты связи прибыли с исследуемым в модели фактором;

в)рассчитайте F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 9

Изучалась зависимость вида у = ах^b Для преобразованных в логарифмах переменных получены следующие данные:

∑xy = 4,2087; ∑x = 8,2370;
∑x² = 9,2334; ∑y = 3,9310;

∑(Y - Ŷx)² = 0,0014.

Задание

1. Найдите параметр b.

2. Найдите показатель корреляции, предполагая σ_Y = 0.08. Оцените его значимость.

3. Оцените его значимость, если известно, что п = 9.

Задача 10

Зависимость объема производства (тыс. ед.) от численности занятых х (чел.) по 15 заводам концерна характеризуется следующим образом:

Задание

Определите:

а) индекс корреляции;

б) значимость уравнения регрессии;

в) коэффициент эластичности, предполагая, что численность занятых составляет 30 человек.

Задача 11

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.): у = 20 +

Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19.

Задание

Определите:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.;

б) индекс корреляции;

в) F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 12

Зависимость спроса на товар К от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: lg у = 1,75- 0,35 lgx. Доля остаточной дисперсии в общей составила 18%.

Задание

1. Запишите данное уравнение в виде степенной функции.

2. Оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены.

3. Определите индекс корреляции.

4. Оцените значимость уравнения регрессии через F-критерий Фишера. Сделайте выводы.

Задача 13

По 20 фермам области получена информация, представленная в табл. 1.12.

Таблица 1.12

Фактическое значение F-критерия Фишера составило 45.

Задание

1. Определите линейный коэффициент детерминации.

2. Постройте уравнение линейной регрессии.

3. Найдите обобщающий коэффициент эластичности.

4. С вероятностью 0,95 укажите доверительный интервал ожидаемого значения урожайности в предположении роста количества внесенных удобрений на 10% от своего среднего уровня.

Задача 14

Для двух видов продукции А и Б зависимость расходов предприятия у (тыс. руб.) от объема производства х (шт.) характеризуется данными, представленными в табл. 1.13.

Таблица 1.13

Задание

1. Поясните смысл величин 0,8 и 0,6 в уравнениях регрессии.

2. Сравните эластичность расходов от объема производства для продукции А и Б при выпуске продукции А в 500 единиц.

1. Определите, каким должен быть выпуск продукции А, чтобы эластичность ее расходов совпадала с эластичностью расходов на продукцию Б.

4. Оцените значимость каждого уравнения регрессии с помощью F- критерия Фишера.

Задача 15

Зависимость объема продаж у (тыс. долл.) от расходов на рекламу х (тыс. долл.) характеризуется по 12 предприятиям концерна следующим образом:

Задание

1. Определите коэффициент корреляции.

2. Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки значимости уравнения регрессии в целом.

3. Найдите стандартную ошибку оценки коэффициента регрессии.

4. Оцените значимость коэффициента регрессии через г-критерий Стьюдента.

5. Определите доверительный интервал для коэффициента регрессии с вероятностью 0,95 и сделайте экономический вывод.

Задача 16

По 20 регионам страны изучается зависимость уровня безработицы у (%) от индекса потребительских цен х (% к предыдущему году). Информация о логарифмах исходных показателей представлена в табл. 1.14.

Таблица 1.14

Известно также, что коэффициент корреляции между логарифмами исходных показателей составил r_{lnx lny} = 0,8.

Задание

1. Постройте уравнение регрессии зависимости уровня безработицы от индекса потребительских цен в степенной форме.

2. Дайте интерпретацию коэффициента эластичности данной модели регрессии.

3. Определите значение коэффициента детерминации и поясните его смысл.

Задача 17

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (табл. 1.15).

Таблица 1.15

Задание

1. Найдите параметры уравнения у = a+

2. Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции.

3. Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции.

4. Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.

Задача 18

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 1.16).

Таблица 1.16

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 19

По территориям Центрального района известны данные за 1995 г. (табл. 1.17).

Таблица 1.17

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. С помощью F-критерия Фишера оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 20

По территориям Центрального и Волго-Вятского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.18).

Таблица 1.18

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 21

По территориям Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.19).

Таблица 1.19

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 22

По территориям Северного, Северо-Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.20).

Таблица 1.20

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Рассчитайте средний (общий) коэффициент эластичности.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 4% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α= 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 23

По территориям Восточно-Сибирского и Дальневосточного районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.21).

Таблица 1.21

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте ожидаемое значение результата, если значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 24

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.22).

Таблица 1.22

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 8% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 25

По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за ноябрь 1997 г. (табл. 1.23).

Таблица 1.23

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте сравнительную оценку силы связи фактора с результатом с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности.

5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.

6. Оцените статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Задача 26

Имеются данные по странам за 1994 г., представленные в табл. 1.24.

Таблица 1.24

Задание

1. Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения.

2. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции.

3. Постройте парные линейные уравнения регрессии, принимая душевой доход в качестве объясняющей переменной. Постройте графики остатков. Сделайте выводы.

4. Оцените значимость уравнений регрессии в целом и их параметров. Сравните полученные результаты, выберите лучшее уравнение регрессии.

Раздел МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

2.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где у - зависимая переменная (результативный признак);

х₁, х₂,..., х_р - независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

· линейная - у - a + b₁ · x₁ + b₂ · x₂ +... + b_p · x_p + ε

· степенная - y = a · x₁^b1 · x ₂ ^b2 ...#· x _p ^bp ·ε

· экспонента - y = e^{a + b}₁^·x₁ ^{+ b}₂^·x₂ ^{+... + b}_p^·x_p ^{+ ε}

· гипербола - y =

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применён метод определителей: a =

, b₁ =

...b_p =

Δ _a, Δb₁, Δb_р - частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы

Другой вид уравнения множественной регрессии - уравнение регрессии в стандартизованном масштабе.

t_y = β₁t_x1 + β₂ t_x2+... + β_pt _xp,

где t_y =

, t_xi =

- стандартизованные переменные;

β_i - стандартизованные коэффициенты регрессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (3-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

Связь коэффициентов множественной регрессии 6, со стандартизованными коэффициентами Р, описывается соотношением

b_i = β