Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача 15

Предложение и спрос на рынке характеризуются следующей моделью:

q₁ = a₁ + b₁p + ε₁
q₂ = a₂ + b₂p + ε₂
q₁ = q₂

где q₁ - спрос на товар; q₂ - предложение количества товара; р - цена, по которой заключаются сделки.

Задача 16

Гипотетическая модель экономики:

C_t = a₁ + b₁₁Y_t + b₁₂J_t + ε₁
J_t = a₂ + b₂₁Y_t-1 + ε₂
T_t = a₃ + b₃₁Y_t + ε₃
Y_t = C_t + J_t + G_t

где С - совокупное потребление в период t Y - совокупный доход в период t J - инвестиции в период t Т - налоги в период t G - государственные доходы в период t.

Задача 17

Модель спроса и предложения кейнсианского типа:

Q_t ^s = a₁ + a₂ P _t + a₃ P _t-1 + ε₁ -(предложение),
Q_t ^d = β₁ + β₂ P _t + β₃Y_t + ε₂ -(спрос),
Q_t ^s = Q_t ^d (тождество),

где Q_t ^d - спрос на товар в момент времени t; Q_t ^s - предложение товара в момент времени t; Р_t - цена товара в момент времени г, Y_t - доход в момент времени t; P _t-1 - цена товара в предыдущий период.

Задача 18

Модель спроса и предложения на деньги:

R_t = a₁ + b₁₁M_t + b₁₂Y_t + ε₁
Y_t = a₂ + b₂₁R_t + ε₁

где R - процентные ставки в период t; Y - ВВП в период t; М - денежная масса в период t.

Задача 19

Модель денежного рынка:

R_t = a₁ + b₁₁M_t + b₁₂Y_t + ε₁
Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₂ I _t + ε₂
I_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₂ I _t + ε₂

где R - процентные ставки; Y -ВВП; М - денежная масса; I - внутренние инвестиции.

Задача 20

Рассматривается следующая модель:

S_t = a₁ + b₁₁D_t + b₁₂M_t + b₁₃Un_t + ε₁
C_t = a₂ + b₂₁D_t + b₂₂S_t + b₂₃Un_t-1 + ε₂
D_t = a₃ + b₃₁S_t + b₃₂C_t-1 + b₃₃ I _t + ε₃

где S_t - заработная плата в период t; D_t - чистый национальный доход в период t, М_t - денежная масса в период t, C _t - расходы на потребление в период t, С _t-1 - расходы на потребление в период t-1; Un_t - уровень безработицы в период t; Un _t-1 - уровень безработицы в предыдущий период; I _t- инвестиции в период t.

Задание

1. Каким методом вы будете оценивать структурные параметры этой модели?

2. Выпишите приведенную форму модели.

3. Кратко охарактеризуйте методику расчета параметров первого и второго структурного уравнения модели.

Задача 21

Ниже приводятся результаты расчета параметров некоторой эко-нометрической модели.

Структурная форма модели:

Y₁ = -4 +???Y₂-9,4X₂ + ε₁
Y₂ = 12,83-2,67 Y₁ +???X₁ + ε₂
Y₃ = 1,36-1,76Y₁ + 0,828Y₂ + ε₃

Приведенная форма модели:

Y₁ = 2 + 4X₁-3X₂ + v₁
Y₂ = 7,5 + 5X₁ + 8X₂ + v₂
Y₃ = 4 +???X₁ +???X₂ + v₃

Задание

1. Какими методами получены параметры структурной и приведенной форм модели? Обоснуйте возможность применения косвенного МНК для расчета структурных параметров модели.

2. Восстановите пропущенные характеристики.

Задача 22

Эконометрическая модель содержит четыре уравнения, четыре эндогенные переменные (у) и три экзогенные переменные (х). Ниже представлена матрица коэффициентов при переменных в структурной форме этой модели.

Задание

Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицируемо ли каждое уравнение модели.

Задача 23

Для изучения связи между уровнем инфляции и доходностью обыкновенных акций используется следующая система уравнений регрессии:

Rb_t = a₁ + b₁₁Rs_t + b₁₂Rb _t-1b₁₃L_t + b₁₄Y_tb₁₅N_t + b₁₆ I _t + ε₁

Rs_t = a₂ + b₂₁Rb_t-1 + b₂₂Rb _t-1 + b₂₃L_t + b₂₄Y_tb₂₅N_t + b₂₆E_t + ε₁

где Rb - доходность облигаций; Rs - доходность обыкновенных акций; L - доход в денежной форме на душу населения; Y - доход от всех источников на душу населения; N - переменная, характеризующая новые выпуски ценных бумаг за период; Е - ожидаемая доходность акций на конец периода; I - ожидаемый уровень инфляции; t - текущий период; t - 1 - предыдущий период.

В этой модели переменные Rb и Rs являются эндогенными.

Задание

1. Определите, является ли данная модель системой одновременных уравнений.

2. Выпишите приведенную форму модели.

3. Каким методом вы будете оценивать структурные параметры этой модели? Обоснуйте ответ.

Задача 24

Имеется следующая модель кейнсианского типа:

C_t = a₂ + b₁₁Y_t + b₁₂T_t + ε₁ - (функция потребления);
I_t = a₂ + b₂₁Y_t-1 + ε₂ -(функция инвестиций);
T_t = a₃ + b₃₁Y_t + ε₂ - (функция налогов);
Y_t = C_t + I_t + G_t - (тождество дохода),

где С - совокупное потребление в период t, Y - совокупный доход в период t, I - инвестиции в период времени t, Т - налоги в период времени t, G - государственные расходы в период времени t, Y _t-1 - совокупный доход в период t-1.

В этой модели переменные С, I, Т и Y являются эндогенными.

Задание

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. Укажите, каким методом вы будете оценивать структурные параметры каждого уравнения (методику оценки параметров излагать не надо).

2. Напишите приведенную форму модели.

3. Пусть в правую часть функции инвестиций введена дополнительная экзогенная переменная r_t (процентные ставки). Как это изменение повлияет на идентификацию и методы оценки структурных параметров модели?

Задача 25

Изучается зависимость потребления (С) от доходов (У).

Задание

1. Каким методом вы будете определять параметры функции потребления, если эконометрическая модель имеет следующий вид: модель А: С = a + bY + ε (функция потребления); модель Б: С = а + bY + ε (функция потребления); Y = С + I (тождество дохода); модель В: С = а + bY + ε (функция потребления); Y = С + I + G (тождество дохода);

где I - инвестиции; G - госрасходы.

Переменные С, Y- эндогенные.

Дайте развернутый ответ по каждой из моделей А-В, включающий обоснование выбранного вами метода и краткое описание методики расчетов.

2. Предположим, определив по некоторому неизменному по всем моделям массиву исходных данных параметры а и b, для каждой из предложенных моделей вы рассчитали коэффициенты детерминации (назовем их R²_A, R²_Б, R²_В соответственно). Какой из этих коэффициентов будет наиболее высоким? Почему?

Задача 26

Имеется модель, построенная по шести наблюдениям:

Y₁ = a₁ + b₁₂Y₂ + ε₁
Y₂ = a₂ + b₂₁Y₁ + c₂₁X₁ + ε₂
Y₃ = Y₂ + X₂

Ей соответствует следующая приведенная форма:

Y₁ = -1,25 + 22X₁ + 0,67X₂ + v₁
Y₁ = 2 - 4X₁ + 10X₂ + v₂
Y₃ = -30 + 12X₁ + 8X₂ + v₃

Известны также следующие исходные данные:

Задание

1. Определите структурные параметры первого уравнения, если это возможно.

2. Определите структурные параметры второго уравнения, если это возможно.

Задача 27

Имеется следующая модель:

Y_t = G_t + I_t + G _t (тождество дохода);
G _t = 0,09 + 0,43YD _t-1 + 0,23M_t + ε_{1 t} (функция потребления);
I_t = 0,08 + 0,40(Y _t-1- Y _t-2) + 0,48Z_t + 0,1 _t + ε_2t (функция инвестиций);
G_t0,13 + 0,67G _t-1 + ε_3t (уравнение госрасходов),

где y_t, - валовой внутренний продукт в текущем году t, C_t - расходы на личное потребление в текущем году t, I _t - валовые внутренние инвестиции в текущем году t; G_t - государственные расходы плюс чистые иностранные инвестиции в текущем году; УDt-1 - располагаемый доход за вычетом налогов в предыдущем году; М_t денежная масса в текущем году; Z_t доход от собственности до вычета налогов в текущем году; Y _t-1 - валовой внутренний продукт в предыдущем году; Y _t-2 - валовой внутренний продукт два года назад; G _t-1 - государственные расходы плюс чистые иностранные инвестиции в предыдущем году; t - фактор времени; Y, С, I, G - эндогенные переменные.

Задание

1. Пусть известно следующее:

Какая из этих переменных оказывает наиболее сильное воздействие на расходы на конечное потребление? Ответ подтвердите соответствующими расчетами (σ _Сt = 430).

2. Дайте интерпретацию параметров функции инвестиций.

3. Параметры каждого уравнения этой модели были найдены обычным методом наименьших квадратов (ОМНК). Изложите ваше мнение относительно возможности применения ОМНК к данной модели.

Задача 28

Имеется следующая модель:

Y₁ = a₁ + b₁₁X₁ + b₁₂X₂ + c₁₂Y₂ + ε ₁
Y₂ = a₂ + b₂₂X₂ + b₂₃X₃ + c₂₁Y₁ + ε₂
Y₃ = a₃ + b₃₁X₁ + b₃₃X₃ + ε₂

Приведенная форма этой модели имеет вид

Y₁ = 6 + 8X₁ + 10X₂ + 4X₃ + v₁
Y₂ = 16-12X₁-70X₂ + 8X₃ + v₂
Y₃ = 10-5X₁-22X₂ + 5X₃ + v₃

Задание

I. Определите все возможные структурные коэффициенты на основе приведенной формы модели.

2. Обоснуйте возможность применения выбранного вами метода определения структурных коэффициентов.

Задача 29

Имеется следующая модель:

Y₁ = a₁ + b₁₂Y₂ + b₁₃Y₃ + c₁₂X₂ + ε ₁
Y₂ = a₂ + b₂₁Y₁ + b₂₃Y₃ + c₂₁X₁ + c₂₂X₂ + ε₂
Y₃ = a₃ + b₃₄Y₄ + b₃₂X₂ + c₃₃X₃ + ε₃
Y₄ = a₄ + b₄₂Y₂ + b₄₃Y₃ + c₄₃X₃ + ε₄

Этой модели соответствует следующая приведенная форма:

Y₁ = 2 + 3X₁ + 4X₂-3X₃ + v₁
Y₂ = 12-6X₁ + 2X₂-4X₃ + v₂
Y₃ = 8 + 5X₁ + 10X₂ + 3X₃ + v₃
Y₄ = 4-3X₁ + 5X₂-6X₃ + v₄

Задание

1. Какие структурные параметры модели можно найти через приведенные коэффициенты. Ответ обоснуйте. В качестве примера найдите параметры какого-либо одного структурного уравнения.

Примечание. Для упрощения расчетов рекомендуется вести их в обыкновенных дробях.

2. Что изменится в вашем ответе на вопрос п.1, если c2i = О?

Задача 30

Строится модель вида

Y₁ = a₁ + b₂Y₂ + c₁X₁ + ε₁
Y₂ = a₂ + b₁Y₁ + c₂X₂ + ε₂

Задание

Определите структурные коэффициенты, учитывая, что

ΣY₁X₁ = 2600; ΣY₁X₂ = 4350; ΣY₁ = 350; ΣY₂ = 25; ΣYX₁ = 750;
ΣX₂ = 350; ΣX²₁ = 1200; ΣX²₂ = 1800; n = 30; ΣX²₂ = 1500;
а так же Y₂ = 2X₁ + 3X₂

Задача 31

Имеется следующая гипотетическая структурная модель:

Y₁ = b₁₂Y₂ + a₁₁X₁ + a₁₂X₂
Y₂ = b₂₁Y₁ + a₂₃Y₃ + a₂₂X₂
Y₃ = b₃₂Y₂ + a₃₁X₁ + a₃₃X₃

Приведенная форма исходной модели имеет вид

Y₁ = 3X₁-6X₂ + 2X₃
Y₂ = 2X₁-4X₂ + 10X₃
Y₃ = -5X₁ + 6X₂ + 5X₃

1. Проверьте структурную форму модели на идентификацию.

2. Определите структурные коэффициенты модели.

Задача 32

Пусть имеются условные данные, представленные в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Задание

Определите параметры структурной модели следующего вида:

Y₁ = b₁₂Y₂ + a₁₁X₁ + a₁₂X₂ + ε₁
Y₂ = b₂₁Y₁ + b₂₂X₂ + a₂₃X₃ + ε₂
Y₃ = b₃₂Y₁ + a₃₃X₃ + ε₃

Задача 33

В одной из аграрных стран строилась функция потребления за 1988-1997 гг. по данным (в условных денежных единицах), представленным в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Задание

1. Постройте функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов.

2. Дайте интерпретацию результатов приведенной формы модели.

Задача 34

Исследуется зависимость спроса и предложения некоторого товара от его цены, дохода и процентной ставки:

Q^s _t = a₁ + a₂p_t + a₃R_t + ε₁
Q^s _t = a₁ + a₂p_t + a₃R_t + ε₁
Q^s _t = Q^d _t = Q_t

где Q^s _t- предложение в момент времени t, Q^d _t - спрос в момент времени t, p_t - цена товара в момент времени t, R_t - процентная ставка в момент времени t; Y_t - доход в момент времени t, Y_t-1 - доход предшествующего периода.

Отметим, что в этой модели цена и величина спроса-предложения определяются одновременно, в связи с чем эти переменные должны считаться эндогенными.

Информация за восемь лет о приростах всех показателей представлена в табл. 3.6.

Таблица 3.6

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

Задание

1. Проведите идентификацию модели.

2. Рассчитайте параметры первого уравнения структурной модели.

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

4.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение - мультипликативные модели временного ряда.

Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е,

мультипликативная модель: Y = T· S · Е.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т,S и Е для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2) расчет значений сезонной компоненты S;

3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т + Е) или в мультипликативной (Т · Е) модели;

4) аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т · Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5) расчет полученных по модели значений (T + S) или (Т · S);

6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

где коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

где - коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррело-граммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда., Для этого чаще всего применяются следующие функции:

· линейная ŷ _t = a + b-t;

· гипербола ŷ_t = a + b / t;

· экспонента ŷ_t = e _a+b·t ;

· степенная функция ŷ_t = a · t^b;

· парабола второго и более высоких порядков

ŷ _t = a + b₁ ·t + b₂ -t² +... + b_k ·t^k.

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1, 2,...,, а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации R².

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например ŷ_t и xˆ_t, и расчет отклонений от трендов: y_t - ŷ_t и x_t - xˆ_t Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

△ _t = y_t - y_t-1 = b + (ε_t - ε_t-1)

если параболический тренд - вторыми разностями:

△² _t = △ _t-△ _t-1 = 2·b₂(ε_t-2·ε _t-1+ε _t-2)

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

y_t = a + b₁·x_t + b₂· _t + ε _t

Параметры а и b этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков е, за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарбина - Уотсона и расчет величины:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

d ≈2(1 - r₁^ε)

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

y_t = a + b₀ · x_t + b₁·x _t-1+... + b_p·x_t-p + ε _t

Коэффициент регрессии b₀ при переменной x_t характеризует среднее абсолютное изменение y_t при изменении x_t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент (t + 1) воздействие факторной переменной x_t на результат y_t составит (b₀ + b₁) условных единиц; в момент времени (t + 2) воздействие можно охарактеризовать суммой (b₀ + b₁ + b₂ и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага (t + /) воздействие фактора на результат описывается суммой (b_o + b₁ +... + b_i = b), которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины

β _j=bj / b j=0,1

называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты b_j имеют одинаковые знаки, то для любого j

0<β_j<1 и

= 1

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

l =

· β_j

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t.

Медианный лаг - это период, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

= 0,5

где l_Ме - медианный лаг.

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

b_i = b₀ · λⁱ l = 0,1,2,…. 0<λ<1.

Уравнение регрессии преобразуется к виду

y_t=a+b₀·x_t+b₀·λx _t-1+b₀·λ²·λx _t-2+ …..+ε _t

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

b_j=c₀+c₁j+c₂j²+…+c_kj^k

Уравнение регрессии примет вид

y_t = a+ c₀· z₀+c₁· z₁+ c₂·z₂+…+c_k·z_k+ε _t

где z_i =

= 1 i=1,......,k; j=1,.....,p

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

1) устанавливается максимальная величина лага t;

2) определяется степень полинома k, описывающего структуру лага;

3) рассчитываются значения переменных z₀,..., z_k

4) определяются параметры уравнения линейной регрессии y_t от z_i;

5) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии, например:

y_t=a+b₀·x_t+c₁·y _t-1+ε _t

Как и в модели с распределенным лагом, b₀ в этой модели характеризует краткосрочное изменение y_t под воздействием изменения x_t на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

b = b₀+b₀·c₁+b₀·c₁²+b₀·c₁³+…=b₀·(1+c₁+c₁²+c₁³+)

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.