Читайте также:
|
Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.
В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.
Запомним определение:
Производная — это скорость изменения функции.
На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?
Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.
Вот другой пример.
Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:
На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.
Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?
На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.
Производная функции обозначается 
.
Покажем, как найти с помощью графика.
Нарисован график некоторой функции 
. Возьмем на нем точку 
с абсциссой 
. Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.
Производная функции 
в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.
Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси 
.
Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком.
Найдем 
. Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника 
:
Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером 
.
Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением
.
Величина 
в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси 
.
.
Мы получаем, что
Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.
Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.
Нарисуем график некоторой функции 
. Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.
В точке функция 
возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол 
; с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.
В точке 
наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол 
; с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.
Вот что получается:
Если функция 
возрастает, ее производная положительна.
Если 
убывает, ее производная отрицательна.
А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках 
(точка максимума) и 
(точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.
Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».
В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».
Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.
Если производная 
положительна, то функция возрастает.
Если производная отрицательная, то функция убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».
Запишем эти выводы в виде таблицы:
|
| возрастает | точка максимума | убывает | точка максимума | возрастает |
|
| 
| 
| 
|
|
|
Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задачи 
. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.
Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:
В точке 
касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.
Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.
. Дифференцируемость функции. Пусть 
. Составим полное приращение функции 
в точке 
:
.
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке 
, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
, (1)
где 
и 
– некоторые числа, 
при 
, 
.
Другими словами, функция дифференцируема в точке , если ее приращение 
эквивалентно функции 
: 
при . Выражение в этом случае представляет собой главную часть приращения , линейно зависящую от 
и 
.
Определение. Если функция дифференцируема в точке , то главную линейную часть ее приращения называют полным дифференциалом в точке и обозначают в виде
.
Для независимых переменных 
и 
полагают 
и 
. Поэтому полный дифференциал записывают также в виде
.
Формула (1) показывает, что, как и в случае функции одной переменной, верна
Теорема 5. Если функция 
дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно, т.е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.
Пример. 
Найдем частные производные функции 
:
.
Полученные формулы теряют смысл в точке 
.
Можно показать иначе, что функция 
не имеет частных производных в точке . В самом деле, 
. Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке 
. Последнее и означает, что частная производная 
в точке 
не существует. Аналогично, не существует частная производная 
. При этом функция , очевидно, непрерывна в точке . ^
Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.
4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных. Напомним, что для функции одной переменной 
существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции многих переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.
Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция дифференцируема в точке 
, то она имеет в точке 
частные производные по каждой переменной и .
При этом 
, 
, где и – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде
,
а полный дифференциал функции – в виде
.
Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.
Теорема 7 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция 
имеет непрерывные частные производные 
и 
в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой 
).
Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции.
5. Геометрический смысл дифференцируемости функции. Напомним, что для функции одной переменной 
из дифференцируемости функции в точке 
следует существование касательной к графику функции в точке 
.
Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных , 
. График этой функции, т.е. множество точек 
, представляет собой поверхность в пространстве 
. Пусть плоскость 
проходит через точку 
поверхности 
; 
– произвольная (текущая) точка поверхности ; 
– ос
|
нование перпендикуляра, проведенного из точки 
к плоскости (рис. 6).
Рис. 6.
Определение. Плоскость , проходящая через точку 
поверхности , называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если при 
(
) величина 
является бесконечно малой более высокого порядка, чем 
, т.е. 
.
Теорема 8. Если функция дифференцируема в точке 
, то в точке существует касательная плоскость к поверхности (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид
.
Вектор 
нормали к касательной плоскости, т.е. 
, называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности .
Дата добавления: 2015-09-10; просмотров: 56 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |